从SAT转换到3-SAT

Question

有没有人知道一个很好的程序，把每个子句有任意数量变量的CNF文件转换成每个子句有3个变量的CNF文件(3-CNF)？我在计算机科学书籍中见过这种算法，但在任何地方都找不到实现，如果别人已经这么做了，我也不愿意浪费时间自己实现它。谢谢!

Answer 1

我也不知道有什么程序可以这样做，但是算法非常简单，所以我只编写了下面的python脚本(下载)，它以DIMACS格式读取通用的CNF，并以DIMACS格式写出相当于3-SAT问题的CNF：

from __future__ import print_function
import fileinput

cnf = list()
cnf.append(list())
maxvar = 0

for line in fileinput.input():
    tokens = line.split()
    if len(tokens) == 0 or tokens[0] == "p" or tokens[0] == "c":
        continue
    for tok in tokens:
        lit = int(tok)
        maxvar = max(maxvar, abs(lit))
        if lit == 0:
            cnf.append(list())
        else:
            cnf[-1].append(lit)

assert len(cnf[-1]) == 0
cnf.pop()

new_cnf = list()
for clause in cnf:
    while len(clause) > 3:
        new_clause = list()
        for i in range(0, len(clause), 2):
            if i+1 < len(clause):
                new_cnf.append(list())
                new_cnf[-1].append(clause[i])
                new_cnf[-1].append(clause[i+1])
                maxvar += 1
                new_cnf[-1].append(-maxvar)
                new_clause.append(maxvar)
            else:
                new_clause.append(clause[i])
        clause = new_clause
    new_cnf.append(clause)

print("p cnf %d %d" % (maxvar, len(new_cnf)))
for clause in new_cnf:
    print(" ".join([ "%d" % lit for lit in clause ]) + " 0")

有趣的地方当然是for clause in cnf:循环，它将存储在cnf中的一般sat问题转化为存储在new_cnf中的3-sat实例。它通过翻译诸如

(A[1] or A[2] or A[3] or A[4] or A[5] or A[6] or A[7])

转换成以下一组从句。

(A[1] or A[2] or ~X[1])
(A[3] or A[4] or ~X[2])
(A[5] or A[6] or ~X[3])

(X[1] or X[2] or X[3] or A[7])

前三个子句添加到new_cnf中。最后一个子句不是3-sat，因此算法在最后一个子句上重新运行，产生以下新子句：

(X[1] or X[2] or ~Y[1])
(X[3] or A[7] or ~Y[2])

(Y[1] or Y[2])

这是所有的3-sat子句，所以它们被添加到new_cnf中，算法继续使用来自cnf的下一个子句。(如果最后一个子句不是3-sat，则算法将一直工作到只剩下3-sat子句为止。最后一个子句的长度在每次迭代中大约减半。)

Answer 2

SAT在多项式时间内是不可解的(根据目前的知识)。2-SAT在多项式时间内是可解的。

因此，从一般SAT到2-SAT的转换不会很快(不是在多项式时间内)，否则我们会找到一个适用于SAT的多项式时间算法。

换句话说，将SAT转换为2-SAT所需的时间与解决SAT的时间大致相同。

也许你是说3-SAT，不是2-SAT？