ccw算法的解释

Question

我很难理解ccw (逆时针方向)算法：

int ccw (Point P0, Point P1, Point P2) {
    dx1 = P1.x - P0.x;
    dx2 = P2.x - P0.x;
    dy1 = P1.y - P0.y;
    dy2 = P1.y - P0.y;

    if (dy1 * dx2 > dy2 * dx1) return -1;
    if (dx1 * dy2 > dy1 * dx2) return 1;
    if ((dx1 * dx2 < 0) || (dy1 * dy2 < 0)) return 1;
    if ((dx1 * dx1 + dy1 * dy1) < (dx2 * dx2 + dy2 * dy2)) return -1;
    return 0;
}

它用来查看两行是否相交的代码：

bool intersect (Vector2D l1, Vector2D l2) {
    return (((ccw(l1.start, l1.end, l2.start) * ccw(l1.start, l1.end, l2.end)) <= 0)
    && ((ccw(l2.start, l2.end, l1.start) * ccw(l2.start, l2.end, l1.start)) <= 0))
}

我可以理解intersect中的代码，但我并不真正理解ccw函数中的代码。

为什么它不使用交叉产品？

Answer 1

ccw函数中的代码是以一种非常特殊的方式编写的，但它确实使用了有时非常非正式地称为2D版本的交叉积。对于两个向量(dx1, dy1)和(dx2, dy2)，乘积被定义为等于

CP = dx1 * dy2 - dx2 * dy1;

(在形式上正确的术语中，CP实际上是向量(dx1, dy1, 0)和(dx2, dy2, 0)的经典三维交叉积的符号大小。)因此，这个值只是一个标量(点)乘积，其中一个向量被它的垂直方向所代替。

如果CP值为正，则从(dx1, dy1)到(dx2, dy2)的最短径向扫描逆时针方向进行。负CP表示顺时针扫描。CP中的零表示共线向量。(所有这些假设Y轴是向上的，X轴是指向右边的。)

显然，CP > 0条件与dx1 * dy2 > dx2 * dy1条件等价，CP < 0条件等价于dx1 * dy2 < dx2 * dy1条件。这正是ccw函数在前两个if中检查的内容。

其余的if正在处理共线情况。

如果向量指向相反的方向(由第三if检测到)，即当P0位于P1和P2之间时，函数总是返回1，指示逆时针顺序。好吧，我想这只是代码作者的约定。

最后，如果两个向量指向相同的方向，即当P0位于P1-P2段之外时，则判决基于向量长度(第四if)。如果P1比P2更接近P0，则报告顺时针顺序。否则，如果P2更接近，则报告逆时针顺序.这也只是代码作者所假定的约定。

而且，从代码的其余部分来看，这并不是关于两行的交点。它是关于两个段的交点。