在向量旁边寻找参数以得到所需的向量

Question

我能用什么最简单的算法来找到这样的m1, m2, m3, ..., mn值，即满足以下方程(当然，达到一定的精度阈值)：

m1*v1 + m2*v2 + ... + mn*vn = vd

其中v1, v2, ..., vn和vd给出了3-10维的向量？参数m1, ..., mn应为正实数。

我需要一个可靠且快速的算法。问题的大小将很小(不大于n=100)，因此速度不是一个非常重要的问题，特别是精确性将相当宽松。

Answer 1

您所描述的是一个线性方程组。您可以将它写成以下矩阵方程：

A * x = b

其中，如果k是向量的维数：

    / v1[1] v2[1] ... vn[1] \
    | v1[2] v2[2] ... vn[2] |
A = | ..................... |
    | ..................... |
    \ v1[k] v2[k] ... vn[k] /

     / m1 \
     | m2 |
 x = | .. |
     | .. |
     \ mn /

    / vd[1] \
    | vd[2] |
b = | ..... |
    | ..... |
    \ vd[k] /

有几种方法可以解决这些问题。如果n等于k，并且问题有一个解决方案(可能有，也可能没有)，那么您可以通过反求系数矩阵A和计算inverse(A) * b来解决这个问题，方法是使用克雷默法则，或者最常见的是使用高斯峰。如果n不等于k，可能会发生一些事情，您可以在googling上了解一下。

顺便说一句，你说过m1 ... mn必须是正数(非零？)。在本例中，您可能希望从线性规划中解决问题，添加诸如m1 > 0、m2 > 0等限制，并使用单纯形算法来解决问题。

无论您使用什么，都不建议自己编写算法。每种语言都有大量的库来处理这类问题。