我的辛普森算法怎么了？

Question

我试着用Simpson的方法来近似积分。然而，当我试图在日志图中绘制它时，我没有得到正确的精度顺序，即O(h^4) (我得到O(n))。但是我找不到任何错误。这是我的密码：

%Reference solution with Simpson's method (the reference solution works well)
yk = 0;
yj = 0;
href = 0.0001;
mref = (b-a)/href;

for k=2:2:mref-1
    yk=yk+y(k*href+a);
end

for j=1:2:mref
    yj=yj+y(href*j+a);
end
Iref=(href/3)*(y(a)+y(b)+2*yk+4*yj);

%Simpson's method
iter = 1;
Ehmatrix = 0;
for n = 0:nmax
    h = b/(2^n+1);
    x = a:h:b;
    xodd = x(2:2:end-1);
    xeven = x(3:2:end);
    yodd = y(xodd);
    yeven = y(xeven);
    Isimp = (h/3)*(y(x(1))+4*sum(yodd)+2*sum(yeven)+y(b));
    E = abs(Isimp-Iref);
    Ehmatrix([iter],1) = [E];
    Ehmatrix([iter],2) = [h];
    iter = iter + 1;
end

figure
loglog(Ehmatrix(:,2),Ehmatrix(:,1))

A和b是积分极限，y是我们想要逼近的被积。

Answer 1

考虑到Geoff的建议，并做一些其他的修改，这一切都如预期的那样工作。

%Reference solution with Simpson's method (the reference solution works well)
a=0;
b=1;
y=@(x) cos(x);
nmax=10;

%Simpson's method
Ehmatrix = [];
for n = 0:nmax
    x = linspace(a,b,2^n+1);
    h = x(2)-x(1);
    xodd = x(2:2:end-1);
    xeven = x(3:2:end-1);
    yodd = y(xodd);
    yeven = y(xeven);
    Isimp = (h/3)*(y(x(1))+4*sum(yodd)+2*sum(yeven)+y(b));
    E = abs(Isimp-integral(y,0,1));
    Ehmatrix(n+1,:) = [E h];
end

loglog(Ehmatrix(:,2),Ehmatrix(:,1))

P=polyfit(log(Ehmatrix(:,2)),log(Ehmatrix(:,1)),1);    
OrderofAccuracy=P(1)

你得到了O(h)的准确性，因为xeven=x(3:2:end)是错的。用xeven=x(3:e:end-1)代替它可以修复代码，从而提高准确性。

Answer 2

Djamillah -您的代码看起来很好，尽管h的初始化可能只在a==0的情况下有效，所以您可能希望将这一行代码更改为

h = (b-a)/(2^n+1);

我想知道x = a:h:b;是否总是有效的--有时b可能包括在列表中，有时可能不包括，这取决于h。您可能需要重新考虑使用linspace来代替

x = linspace(a,b,2^n+1);

这将保证x的2^n+1点在间隔[a,b]中均匀分布。然后可以将h初始化为

h = x(2)-x(1);

此外，在确定偶数和奇数指数时，我们需要忽略偶数和奇数的x的最后一个元素。所以而不是

xodd  = x(2:2:end-1);
xeven = x(3:2:end);

做

xodd  = x(2:2:end-1);
xeven = x(3:2:end-1);

最后，不要使用向量y (这是如何设置的？)我可能只是使用函数句柄来处理我正在集成的函数，并将上面的计算替换为

Isimp = delta/3*(func(x(1)) + 4*sum(func(xodd)) + 2*sum(func(xeven)) + ...
        func(x(end)));

除了这些微小的东西(可能可以忽略不计)之外，算法中没有任何东西可以表示问题。它产生了类似的结果，我有一个版本。

至于收敛的顺序，是O(n^4)还是O(h^4)？