用Matlab求非线性微分方程的稳定边界

Question

我陷入这个问题已经好几个星期了。如何利用Matlab求非线性微分方程的稳定性(或吸引力)区域。

假设我有这样的方程式：

x' = y;
y' = -10*sin(x)  - y + 9;

这个方程的平衡点是x，y= 1.1198，0。我想画出这个非线性微分方程的稳定边界。我的意思是，我想找出任何初始点都会收敛到平衡点的区域，该区域之外的任何一点都会发散。请在http://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/146562-finding-the-stability-boundary-or-attraction-region-of-a-nonlinear-differential-equation查看附呈的图像

现在，我运行以下Matlab代码：

f = @(t , x)[x(2) ; -10 * sin(x(1)) - x(2) + 9];
[T , X] = ode45(f , Tint , X0);

对于某些Tint，我把结果绘制成一个相图图(即x对y)，并且改变初始条件(X0)，直到它工作为止(即一些受过教育的尝试和错误)。

我需要找到这个微分方程的许多不同变化的稳定区域。我的问题是:如何自动找到这个区域？

谢谢你的帮助

Answer 1

在非常高的计算成本中，您可以进行强力搜索:对搜索空间进行离散化，选择一个long Tint (用于说明在很长时间内收敛的解决方案)，并为每个起点进行集成。

为了加速这个过程，你可以为集成实现一些停止条件，修剪那些离你的平衡点太远的分支，以及那些接近平衡点的分支。

当然，这样，你就只能得到稳定边界的近似，因为1.为你的搜索空间选择了离散化的步骤；2.如果一个解在离平衡点比停止条件更远的地方收敛，或者在接近平衡后发散，而不是你的停止条件，则可能会出现“错剪枝”。

有关实现停止条件的帮助，请查看ode45文档的事件函数部分以及这个例子或这一个。