等离子体物理细胞模拟中的C++维粒子-标准网格上的泊松方程求解器

Question

我正在为摆在我面前的任务构建我自己的一套过程，但是我目前被困在三维泊松方程中，来求解由移动的带电粒子产生的势和磁场。

简而言之，细胞中的粒子由四个核心过程组成：

1. 运动粒子的积分(从洛伦兹方程)，
2. 电荷密度分布到网格的节点(磁场的电流密度)，
3. 求解Poisson方程计算网格节点的电位和电磁场，
4. 电场/磁场在粒子中的分布。

循环就会重复。我能做步骤(1)，(2)和(4)，但不能做泊松部分。我用Boris格式积分粒子，网格简单地被构造成cell[i][j][k]，维数为K，分布过程有点棘手，但毕竟不是很难。

然而，令我惊讶的是，我找不到合适的库来解决三维泊松方程的有限差分法(FDM)。我开始认为我将不得不写我自己的解，但求解偏微分方程本身是一门科学，我被告知不要尝试这个解，因为如果我不正确地去做，结果可能是不稳定的。FFT也可能是一个解决方案，但我需要一些东西，即使边界条件不是周期性的，也能工作。

我的问题是：

你知道有什么适合C++的库吗?它将取泊松方程的右边，并计算得到的势？计算必须通过有限差分进行。另外，Poisson方程的右边实际上是指K点的整个网格，它是在网格的一个有限差分边上积分的。

很难写出我自己的泊松方程的解吗？你推荐什么算法？

你知道其他的解决办法吗？免费软件，写得很好的论文或文档，论文，任何东西。

事先谢谢你，这对我来说是一个非常严重的问题，因为我不能继续工作了。

Answer 1

您可以尝试一些库，如利布网或第二笔交易。它们是由这种问题造成的.

Answer 2

你可能会采取自己动手的方法。首先，写出你必须要解的方程组。

确定您将拥有多少变量，例如，每个单元格x单元格有3个变量。确定有多少方程将这些变量联系起来。

你应该有相同的变量数和方程数，说N。

然后，看看你的方程是否是线性的。如果是这样的话，您应该能够将系统写成AX = B，其中A是NxN矩阵，B是向量，X包含前面确定的所有变量(未知数)。

然后，用MATLAB或LU求解器求解线性系统A*X=B是相当简单的(C/C++代码很容易找到，可能需要200行代码)。

如果你的系统不是线性的，你可以使用牛顿-拉夫森方法.你必须用.= 0的形式写出你的所有方程。

然后，你必须计算所有方程的所有导数，并将它们放在一个所谓的雅可比矩阵J中。

方程n°i对变量n°j的导数在jacobian的n°i行和colum n°j中。也就是说，Ji = dfi_dXj。

您必须猜测X中所有变量的初始值，这应该离解决方案不远。

这个猜测不是解，所以它不会导致你所有的方程都是= 0。包含所有这些“应该被-0”值的向量是F. Fi是方程n°I的“剩余”；

当你计算了J和F_X时，你可以求解线性系统J*D = F_X，然后D包含向量X中当前变量与你想要的解之间的差异。

然后计算一个新的X，等于X。

如果系统不是线性的，新的X将更接近解，但是您必须多次重复这个过程(计算J，F_X，求解J*D = F_X，并设置X= and )，使其足够接近解。

这似乎太难设置，但实际上它是可行的。

嗯，在一维，这几乎是容易的，但在三维边界条件可能是乏味的。

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另外，你必须选择如何表达变量的空间导数，这样你就可以把你的微分方程转换成离散方程，AKA离散化。您可以从一阶计划开始：

• df/dx = (fi+1 - fi)/dx
• d2f/dx2 2= (2*fi - fi+1 - fi-1)/dx²