为什么代数类型只是初始代数(反之亦然)？

Question

在recursion-schemes包中，我们可以表示一个(严格正的)代数数据类型。

1. 有一个签名函子，f
2. 是初始的f-algebra，并且
3. 是最终的f-coalgebra

例如，我们可以用下面的代码对[a]这样做

-- (1) define and declare the signature functor, here called Base

data instance Prim [a] x = Nil | Cons a x deriving Functor
type instance Base [a] = Prim [a]

-- (2) demonstrate the initial algebra
instance Foldable [a] where
  project []     = Nil
  project (a:as) = Cons a as

-- (3) demonstrate the final coalgebra
instance Unfoldable [a] where
  embed Nil         = []
  embed (Cons a as) = a:as

值得注意的是，对于任何有(1)，(2)，(3)的类型，我们应该有一个同构的(project, embed)。

我的理解是，一般的数据类型(或至少是严格的正数据类型)总是某些签名函子的最终/初始协/代数--事实上，它们总是两者兼而有之。

所以我的问题是:为什么Foldable和Unfoldable作为单独的类？数据类型什么时候才是其中一种呢？

目前，我可以想象这可能是有价值的抽象数据类型，它只想提供一个折叠或展开的接口，但还有其他时间吗？

Answer 1

这可能不是你问题的答案，但严格正的Haskell数据类型是初始代数的说法并不是真的。这样做的原因是，即使在Haskell的总子集中(这也是我们在推理时要做的！)你有无限的数据。

例如，无限列表的折叠是部分的。