针孔相机模型的坐标系

Question

最近，我一直在研究针孔相机模型，但我与OpenCV提供的模型和“计算机视觉中的多视图几何”教材混淆了。

我知道下面的照片是一个简化的模型，它可以转换图像平面和摄像机框的位置。为了更好地说明和理解，并考虑到要点(u0，v0)，两个框架之间的关系是x=f(X/Z)+u0和y=f(Y/Z)+v0。

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但是，我真的很困惑，因为通常图像坐标是第四象限坐标的形式，如下所示！

我能否直接用以下定义中的(x，y)代替上述“等效”针孔模型，而这个模型并不真正有说服力？

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此外，如果一个物体位于相机坐标(当然是Z>f)的区域(+X，+Y)象限中，在等效模型中，它应该出现在图像坐标的右半平面上。然而，这样的物体在图像中由普通相机拍摄，它应该位于左侧。因此，对我来说，这个模式是不合理的。

最后，我尝试在原始模型的基础上推导如下的模型。

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结果是x1=-f(X/Z)和y1=-f(Y/Z)。

然后，我试图找出(x2，y2)-coordinate与相机坐标之间的关系。结果是x2=-f(X/Z)+u0和y2=-f(Y/Z)+v0。

在(x3，y3)-coordinate和摄像机坐标之间，结果是x3=-f(X/Z)+u0和y3=f(Y/Z)+v0。

无论我尝试过哪个坐标系，都没有一个是x=f(X/Z)+u0和y=f(Y/Z)+v0的形式，这些都是由一些简历教材提供的。

此外，由于同样的原因，(x2，y2)-coordinate或(x3，y3)-coordinate上的投影结果也是不合理的:相机坐标中(+X，+Y，+Z)区域的物体应该“出现”在摄像机拍摄的图像的左半平面上。

有人能指出我误解了什么吗？

Answer 1

最后，我发现了这个问题，并通过执行张博士的论文，证明了我的解释是正确的，那就是从未知的角度观看平面的柔性摄像机校准。计算机视觉国际会议(ICCV'99)，希腊科孚，第666-673页，1999年9月。

让我从头到尾解释一下。下面的照片是原始针孔相机模型和投影结果在图像传感器上。然而，这不是我们应该看到的“形象”。

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我们应该看到的是

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比较图1和图2，我们应该注意到这张图片是上、下和左-右.我在一家CMOS传感器公司工作的朋友告诉我，有内置功能可以自动翻转感知到的图像。

由于我们要对图像坐标和世界坐标之间的关系进行建模，所以我们应该将图像传感器直接看作一个投影平面。以前让我感到困惑的是，投影总是局限在投影的一侧，这误导了我从几何上理解推导。

现在，我们应该将图像传感器的“背面”看作蓝色(视图透视图)箭头。

结果如图2所示，x1-y1坐标现在分别向右和向下方向，因此方程如下

x1=-f(X/Z)
y1=-f(Y/Z)

现在，根据x-y坐标，方程是

x=f(X/Z)+u0
y=f(Y/Z)+v0

这就是论文所描述的。

现在，让我们看一个等价的模型，它不存在于现实世界，但有助于视觉解释。

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原则是一样的。从投影中心向图像平面看。结果是

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投影的"F“在右边-左边。方程是

x1=f(X/Z)
y1=f(Y/Z)

现在，根据x-y坐标，方程是

x=f(X/Z)+u0
y=f(Y/Z)+v0

这就是论文所描述的。

最后但并非最不重要的一点是，由于世界坐标中的单位是mm或英寸，而图像坐标中的单位是像素，所以有一个缩放因子，一些书籍将其描述为

x=a*f(X/Z)+u0 
y=b*f(Y/Z)+v0

或

x=fx(X/Z)+u0
y=fy(Y/Z)+v0

其中fx=a*f，fy=b*f

Answer 2

实际上要简单得多:您的对象的坐标应该在相机世界坐标中，这是一个坐标系统，其x轴和y轴与图像平面上的各个轴平行，例如：COPIES/OWENS/LECT9/node2.html。