不动点表示法

Question

我正在寻找一个通常可以理解的表示法来定义一个不动点数表示。该表示法应该能够定义两个因子的幂(使用小数位)和一个通用因子(有时我被迫使用它，尽管效率较低)。还应该定义一个可选的偏移量。

我已经知道了一些可能的符号，但它们似乎都受限于特定的应用程序。

• 例如，Simulink表示法完全符合我的需要，但它只在Simulink世界中才被知道。此外，fixdt()函数的重载用法也不是那么可读的。
• TI定义了一个非常紧凑的Q格式，但是符号是隐式的，它不管理通用因素(即不是2的幂)。
• 阿萨姆使用带有2次分子和分母多项式(方法)的6系数有理函数.很普通，但不那么友好。

还请参阅维基百科讨论。

问题只是关于表示法(不是表示法的效率，也不是定点操作)。因此，这是一个代码可读性、可维护性和可测试性问题。

Answer 1

啊，是的。拥有良好的命名注解是绝对关键的，不能用不动点算法引入bug。我使用Q表示法的显式版本，它通过将_Q<M>_<N>附加到变量的名称来处理M和N之间的任何除法。这也使得有可能将签名也包括在内。没有运行时性能的惩罚。示例：

uint8_t length_Q2_6;                // unsigned, 2 bit integer, 6 bit fraction
int32_t sensor_calibration_Q10_21;  // signed (1 bit), 10 bit integer, 21 bit fraction.

/*
 * Calculations with the bc program (with '-l' argument):
 *
 * sqrt(3)
 * 1.73205080756887729352
 *
 * obase=16
 * sqrt(3)
 * 1.BB67AE8584CAA73B0
 */
const uint32_t SQRT_3_Q7_25 = 1 << 25 | 0xBB67AE85U >> 7; /* Unsigned shift super important here! */

如果有人还没有完全理解为什么这样的注释是非常重要的，您能在下面的两个示例中发现是否存在错误吗？

示例1：

speed_fraction = fix32_udiv(25, speed_percent << 25, 100 << 25);
squared_speed  = fix32_umul(25, speed_fraction, speed_fraction);
tmp1 = fix32_umul(25, squared_speed, SQRT_3);
tmp2 = fix32_umul(12, tmp1 >> (25-12), motor_volt << 12);

示例2：

speed_fraction_Q7_25 = fix32_udiv(25, speed_percent << 25, 100 << 25);
squared_speed_Q7_25  = fix32_umul(25, speed_fraction_Q7_25, speed_fraction_Q7_25);
tmp1_Q7_25  = fix32_umul(25, squared_speed_Q7_25, SQRT_3_Q1_31);
tmp2_Q20_12 = fix32_umul(12, tmp1_Q7_25 >> (25-12), motor_volt << 12);

想象一下，如果一个文件包含#define SQRT_3 (1 << 25 | 0xBB67AE85U >> 7)，另一个文件包含#define SQRT_3 (1 << 31 | 0xBB67AE85U >> 1)，代码在这些文件之间移动。例如，这很有可能被忽略，并引入示例2中存在的bug，这个错误在这里是故意执行的，并且不可能被意外执行。

Answer 2

实际上，Q格式是商业应用程序中最常用的表示形式:当您需要快速处理小数时，您的处理器没有浮点单元( FPU )，它不能本地使用浮点数和双数据类型--它必须为它们模拟非常昂贵的指令。

通常，您只使用Q格式来表示小数部分，虽然这不是必须的，但是表示的精度更高。下面是你需要考虑的问题：

• 使用的位数(Q15使用16位数据类型，通常是短int)
• 第一位是符号位(在16位中，数据值为15位)。
• 其余的位用于存储数字的小数部分。
• 由于您表示的是小数，所以值在[0，1]中的某个位置。
• 您也可以选择对整数部分使用一些位，但是您将失去精度--例如，如果您想以q格式表示3.3，则需要1位的符号，2位的整数部分，剩下13位用于小数部分(假设您使用16位表示)，这种格式称为2Q13。

示例:假设您希望以Q15格式表示0.3；应用三的规则：

      1 = 2^15 = 32768 = 0x8000
    0.3 = X
    -------------
    X = 0.3*32768 = 9830 = 0x666

这样做就失去了精确性，但至少现在的计算速度很快。

Answer 3

在C中，不能像使用内置类型那样使用用户定义的类型。如果您想这样做，您需要使用C++。在该语言中，您可以为不动点类型定义类，重载所有算术运算符(+、-、*、/、%、+=、-=、*=、/=、%=、-、++、强制转换为其他类型)，这样该类实例的使用就像内置类型一样。

在C中，您需要显式地执行您想做的事情。有两种基本的方法。

方法1:在用户代码中进行定点调整。

这是免费的，但是你需要记住做正确的调整。我认为，最简单的方法是将过去的点位数添加到变量名的末尾，因为类型系统不会对您有多大的好处，即使您使用的所有点位置都是typedef。

int64_t a_7 = (int64_t)(7.3*(1<<7));    //a variable with 7 past point bits
int64_t b_5 = (int64_t)(3.78*(1<<5));   //a variable with 5 past point bits
int64_t sum_7 = a_7 + (b_5 << 2);    //to add those two variables, we need to adjust the point position in b
int64_t product_12 = a_7 * b_5;    //the product produces a number with 12 past point bits

当然，这是很多麻烦，但至少你可以很容易地在每个点检查点调整是否正确。

方法2:为不动点数字定义一个结构，并将算法封装在一组函数中。如下所示：

typedef struct FixedPoint {
    int64_t data;
    uint8_t pointPosition;
} FixedPoint;

FixedPoint fixed_add(FixedPoint a, FixedPoint b) {
    if(a.pointPosition >= b.PointPosition) {
        return (FixedPoint){
            .data = a.data + (b.data << a.pointPosition - b.pointPosition),
            .pointPosition = a.pointPosition
        };
    } else {
        return (FixedPoint){
            .data = (a.data << b.pointPosition - a.pointPosition) + b.data,
            .pointPosition = b.pointPosition
        };
    }
}

这种方法在使用上有点干净，但是它引入了大量的开销。这一间接费用包括：

1. 函数调用。
2. 复制用于参数和结果传递的结构，如果使用指针，则复制指针取消引用。
3. 需要在运行时计算点调整。

这与没有模板的C++类的开销非常相似。使用模板会将一些决策移回编译时，而代价是失去灵活性。

这种基于对象的方法可能是最灵活的方法，它允许您以透明的方式添加对非二进制点位置的支持。