逆概率密度函数

Question

用什么方法计算正态分布的概率密度函数？我用正态概率密度函数来求出：

from scipy.stats import norm
norm.pdf(1000, loc=1040, scale=210)
0.0018655737107410499

在给定的正态分布中，我如何计算出0.0018的概率对应于1000？

Answer 1

从概率密度到分位数不可能有1:1映射。

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由于正态分布的PDF是二次型的，所以可以有2，1或零分位数，它们具有特定的概率密度。

更新

实际上，要从分析中找到根源并不难。正态分布的PDF由：

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经过一些重新安排，我们得到：

(x - mu)**2 = -2 * sigma**2 * log( pd * sigma * sqrt(2 * pi))

如果RHS上的判别式< 0，则没有真正的根。如果它等于零，就有一个根(其中x= mu)，当它>0时有两个根。

把它放在一起变成一个函数：

import numpy as np

def get_quantiles(pd, mu, sigma):

    discrim = -2 * sigma**2 * np.log(pd * sigma * np.sqrt(2 * np.pi))

    # no real roots
    if discrim < 0:
        return None

    # one root, where x == mu
    elif discrim == 0:
        return mu

    # two roots
    else:
        return mu - np.sqrt(discrim), mu + np.sqrt(discrim)

这使所需的分位数在四舍五入误差范围内：

from scipy.stats import norm
pd = norm.pdf(1000, loc=1040, scale=210)
print get_quantiles(pd, 1040, 210)
# (1000.0000000000001, 1079.9999999999998)

Answer 2

import scipy.stats as stats
import scipy.optimize as optimize
norm = stats.norm(loc=1040, scale=210)
y = norm.pdf(1000)
print(y)
# 0.00186557371074

print(optimize.fsolve(lambda x:norm.pdf(x)-y, norm.mean()-norm.std()))
# [ 1000.]
print(optimize.fsolve(lambda x:norm.pdf(x)-y, norm.mean()+norm.std()))
# [ 1080.]

存在着达到任意值无限次的分布。(例如，在长度为1/2、1/4、1/8等的无限间隔序列上，值为1的简单函数获得无穷次的值。它是一个分布，因为1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 1)

因此，以上fsolve的使用并不能保证找到x的所有值，其中pdf(x)等于某个值，但它可能会帮助您找到一些根。