二维二分法-寻根

Question

我试图用二分法来解两个高度非线性的方程。让我们说，f(x,y) = 0是8级，g(x,y) = 0是6级；

我需要一个二维二分法的matlab代码来求解f(x,y) = 0和g(x,y) = 0，并找到所有可能的根。

Answer 1

你的想法行不通。用两个变量中的两个多项式，进入代数的区域，有Gr bner基，结果，Bezout定理和无穷远的解。

贝祖特定理告诉你，最多有6*8=48解，真实的和复杂的。我不认为matlab有一个Gr bner软件包，使用枫树，Magma或单数。

使用结果，可以减少变量的数量。F和g的x的结果是y中的一元多项式，可以用标准方法求解。它是y中含有多项式的西尔维斯特矩阵的行列式，在原则上可以用matlab对其进行估计，但并不是很实用。

“结果”的概念(而不是明显的迂回)适合于同伦方法。这是由Verschelde，Wampler等人为完全数值方法所做的广泛工作。

如果我没有记错，则通过考虑以下条件，构造了同伦的初始可解问题

g0(x,y)=(y-a1*x-b1)*...*(y-a6*x-b6) 

具有随机系数a1，..，a6，b1，…，b6。然后由一元多项式求出g0的每个线性因子的初值解。

0=f1(x)=f(x,a1*x+b1),..., 0=f6(x)=f(x,a6*x+b6)

使用Jenkins或Laguerre，给出根xjk和yjk=aj*xjk+bj。复平面的二分法或四分法不是很有用，而是存在的。见Yakoubsohn和Didieu的作品。

现在引入一个同伦参数t从0到1在直线或曲线t=s+c*s*(1-s)，s在0,1，c随机小虚数中，在复平面上，并考虑系统。

0=f(x(t),y(t)),
0=t*g(x(t),y(t))+(1-t)*g0(x(t),y(t)),

从x(0)=xjk开始，y(0)=yjk表示所有j=1、...,6、k=1、...,8。

对于系数的一般值，所遵循的路径将不相交，因此从头到尾都是规则的，并且可以找到所有的根。一个棘手的部分是决定当一条路径漂移，如果它是因为一个非常大的解或非解在无穷远。

另一个同伦首先计算固定任意x1的根y0，.，f(x，y0)的x8，然后计算g(x1，y)，…，g(x8，y)的根y11，.，y61，y12，.，y68。然后给出同伦

0=f( x(t), (1-t)*y0+t*y(t)), 
0=g( x(t), y(t)),

其中x(0)=xk和y(0)=yjk。