灰度码加法

Question

是否有任何已知的方法来计算两个格雷码的加法(也许是减法)，而不必将两个格雷码转换成规则二进制码，然后执行二进制加法，然后将结果转换回格雷码？我成功地编写了增量和递减函数，但添加和减法似乎更少文档化，也更难编写。

Answer 1

在#6下面的本文件中，有一个串行灰色代码加法算法(直接复制；注意，⊕是xor)：

procedure add (n: integer; A,B:word; PA,PB:bit;
               var S:word; var PS:bit; var CE, CF:bit);
var i: integer; E, F, T: bit;
begin
   E := PA; F := PB;
   for i:= 0 to n-1 do begin {in parallel, using previous inputs}
       S[i] := (E and F) ⊕ A[i] ⊕ B[i];
       E := (E and (not F)) ⊕ A[i];
       F := ((not E) and F) ⊕ B[i];
   end;
   CE := E; CF := F;
end;

这就增加了灰码字A和B来构成灰码词S，运算子的参数是PA和PB，和奇偶是PS。这在内部传播两个进位，E和F，并产生两个外部进位CE和CF。

不幸的是，它没有说明任何关于减法的内容，但是我想，当你可以编码负数时，你可以使用加法。

Answer 2

我接受了@Sebastian Dressler的答案，因为建议的算法确实有效。为了完整起见，我在这里提出了相应的算法C99实现(C++兼容)：

// lhs and rhs are encoded as Gray codes
unsigned add_gray(unsigned lhs, unsigned rhs)
{
    // e and f, initialized with the parity of lhs and rhs
    // (0 means even, 1 means odd)
    bool e = __builtin_parity(lhs);
    bool f = __builtin_parity(rhs);

    unsigned res = 0u;
    for (unsigned i = 0u ; i < CHAR_BIT * sizeof(unsigned) ; ++i)
    {
        // Get the ith bit of rhs and  lhs
        bool lhs_i = (lhs >> i) & 1u;
        bool rhs_i = (rhs >> i) & 1u;

        // Copy e and f (see {in parallel} in the original paper)
        bool e_cpy = e;
        bool f_cpy = f;

        // Set the ith bit of res
        unsigned res_i = (e_cpy & f_cpy) ^ lhs_i ^ rhs_i;
        res |= (res_i << i);

        // Update e and f
        e = (e_cpy & (!f_cpy)) ^ lhs_i;
        f = ((!e_cpy) & f_cpy) ^ rhs_i;
    }
    return res;
}

注意：__builtin_parity是一个编译器内蕴(GCC和Clang)，它返回整数中集合位数的奇偶校验(如果不存在该内蕴，则有其他方法手工计算)。当一个灰色代码有偶数的集合位时，它是偶数的。该算法还可以改进，但该实现与原算法相当可靠。如果您想了解有关优化实现的详细信息，可以查看代码评审上的这个问答。

Answer 3

最近，我设计了一种新的算法来添加两个格雷码。不幸的是，它仍然比简单的双转换解决方案慢，也比哈罗德卢卡尔的算法(公认的答案中的算法)慢。但任何解决问题的新方法都是受欢迎的，对吧？

// lhs and rhs are encoded as Gray codes
unsigned add_gray(unsigned lhs, unsigned rhs)
{
    // Highest power of 2 in lhs and rhs
    unsigned lhs_base = hyperfloor(lhs);
    unsigned rhs_base = hyperfloor(rhs);

    if (lhs_base == rhs_base) {
        // If lhs and rhs are equal, return lhs * 2
        if (lhs == rhs) {
            return (lhs << 1u) ^ __builtin_parity(lhs);
        }
        // Else return base*2 + (lhs - base) + (rhs - base)
        return (lhs_base << 1u) ^ add_gray(lhs_base ^ lhs, lhs_base ^ rhs);
    }

    // It's easier to operate from the greatest value
    if (lhs_base < rhs_base) {
        swap(&lhs, &rhs);
        swap(&lhs_base, &rhs_base);
    }

    // Compute lhs + rhs
    if (lhs == lhs_base) {
        return lhs ^ rhs;
    }

    // Compute (lhs - base) + rhs
    unsigned tmp = add_gray(lhs ^ lhs_base, rhs);
    if (hyperfloor(tmp) < lhs_base) {
        // Compute base + (lhs - base) + rhs
        return lhs_base ^ tmp;
    }
    // Here, hyperfloor(lhs) == hyperfloor(tmp)
    // Compute hyperfloor(lhs) * 2 + ((lhs - hyperfloor(lhs)) + rhs) - hyperfloor(lhs)
    return (lhs_base << 1u) ^ (lhs_base ^ tmp);
}

为了正确地工作，该算法使用了以下实用函数：

// Swap two values
void swap(unsigned* a, unsigned* b)
{
    unsigned temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// Isolate the most significant bit
unsigned isomsb(unsigned x)
{
    for (unsigned i = 1u ; i <= CHAR_BIT * sizeof(unsigned) / 2u ; i <<= 1u) {
        x |= x >> i;
    }
    return x & ~(x >> 1u);
}

// Return the greatest power of 2 not higher than
// x where x and the power of 2 are encoded in Gray
// code
unsigned hyperfloor(unsigned x)
{
    unsigned msb = isomsb(x);
    return msb | (msb >> 1u);
}

那么，它是如何工作的？

我不得不承认，这是一个相当大的代码墙，作为一个附加的“简单的代码”。它主要基于对Gray代码中的位模式的观察；也就是说，我没有正式证明任何东西，但我还没有找到算法不起作用的情况(如果不考虑溢出，它就不会处理溢出)。以下是用于构造算法的主要观察结果，假设所有内容都是灰色代码：

• 2*n= (n << 1)⊕奇偶校验(N)
• 如果a是2的幂，a> b，那么⊕b=a+b
• 因此，if是2的幂，a< b，然后是⊕b =a，这只有当b<2*a时才能工作。
• 如果a和b具有相同的超地板但不相等，则a+b=(超地板( a) << 1)⊕((超地板(A)⊕a)+(超地板(B)⊕b))。

基本上，这意味着我们知道如何乘以2，如何将2的幂相加到较小的格雷码中，以及如何从大于2的灰码中减去2的幂，但小于2的下一次方。其他的一切都是技巧，这样我们就可以根据2的等数值或2的幂进行推理。

如果您需要更多的详细信息/信息，您还可以检查这个问答 on Code，它提出了算法的现代C++实现以及一些优化(作为一种奖励，还有一些我们不能在这里得到的MathJax方程:D)。