数列和环的理论计算

Question

我试图计算级数之和: n=1 (1/n)，Σ，n=inf。(对于每一个自然数n>0，计算1/n的和)

我们希望matlab返回循环数，直到-Σ(N)Σ(n-1)=0为止。

( ii)我们要计算代码需要结束的时间。

由于n的增量没有限制，所以代码的运行时间很长。然而，对于n=~10^8，我们应该使用ie符号和(1，n)来估计和数吗?如果不是，我们如何计算上述问题？

Answer 1

我认为这就是你如何接近实际解决方案的方法。这绝不是一个理论上的解决方案，但它会缩小你的搜索范围的一个巨大的数量。首先，一些概念：

1. 上述级数之和的值由调和数给出，其值可以近似为ln(n+1，其中n+1是迭代次数(而不是n)。例如，如果您运行10^8迭代，之和将是~ log(10^8-1)=18.420680733952366，而实际值(即代码)是18.997896413852555。我知道这是一个巨大的差异，但让我们接受它(至少我不知道任何其他方法)。

更新:请参阅对此答案的注释，您实际上可以添加Euler-Mascheroni常量，以获得更好的近似)。

1. 随着sum值的增加，您的精度会变得更短，eps(sum)可以获得最小精度的值，即在10^8迭代之后，eps(sum)=3.552713678800501e-15的值。
2. 每次迭代时的增量都需要计算，而且非常简单。在10^8迭代中，上一次迭代的增量是1/10^8。
3. 所以，我们想要的是，在(3)中得到的数应该大于(2)。如何在(2)中获得sum的值，或者在(1)中运行代码或使用方法(我做了后者)。
4. 我观察到eps(8)>1e-15。迭代10^15 = 10^-15 < eps(8)的增量。因此，已经不可能达到10^15次迭代。让我们试试10^14迭代。迭代10^14 = 10^-14 < eps(64)的增量。这意味着，10^14次迭代的和应小于64次。是吗?让我们检查一下(1)中的公式。是= log(10^14-1) = 32.236191301916627。
5. 因此，我得出结论，在10^14次迭代时，精度仍然足够大，但在10^15时则不是。所以确切的迭代次数在10^14到10^15之间。好吧，你仍然可以缩小它，并且可能需要更多的努力来找到确切的迭代数。我已经给你指明了方向。

实际上，我发现了在满足条件时迭代的次数。我将其计算如下：

eps(33)= 7.105427357601002e-015 (因为eps的值为32到63，所以您的和永远不会达到64，所以这就是您应该处理的eps的值)。所以你需要你的增量刚好高于这个数字。因此，我决定将增量改为7.1055e-15。我们已经知道迭代的次数在10^14到10^15之间。因此，需要的迭代次数必须是k*10^14，其中k是介于1到10之间的常数(因为当k = 10本质上变成10^15)。解决(1/(k*10^14))=7.1055e-15 (您可以做得更好，我决定坚持使用7.1055e-15。我找到k=1.407360495390895了。因此，迭代次数= 1.407360495390895*10^14。

我可能错了。请交叉核对。另外，我建议您在math.stackoverflow中发布这篇文章。在此之前，你需要一个理论上的解决方案，你可以得到更好的答案。

Answer 2

你的问题有几个方面：

(广告一)定义一个循环，开始总结你的1/n

在Matlab命令tic和toc下执行一个循环

最后但同样重要的一点是:您应该将1/n与机器epsilon进行比较，在Matlab中，这是eps，以便一旦机器无法添加与和相关的内容并中止循环，就会中止。根据所需的和精度，您当然可以提前中止，例如，将1/n与1e-8进行比较将意味着在n= 1e8处停止。

Answer 3

您可以运行这段代码来测试它是否遇到任何实际的边界，我相信这正是您所要寻找的：

N = 1;
oldSum = -1;
mySum = 0;
tic
while oldSum~=mySum
    oldSum = mySum;
    mySum = mySum + 1/N;
    N = N+1;
end
toc
N

再想一想，这可能会永远持续下去。如果您使用此行，则：

 mySum = single(mySum + 1/N);

您可以看到精度较低的数据类型的结果。在21.5秒内，它达到2097153次迭代并终止。

这可以用来测试理论方法。

UPDATE I认为，与其降低精度，不如增加步长。下面是得到这个数字的近似的代码，从这里得到估计的计算时间应该不会那么困难：

N = 1;
oldSum = -1;
mySum = 0;
p=10;
tic
while oldSum~=mySum && N
    oldSum = mySum;
    mySum = mySum + 1/N;
    if N<1e9 % We need to build up till approximately the right number
        N = N+1;
    else % Here the decrease in 1/N is much more significant than the change in epsilon
        N = N+1e8;
    end
end
toc

这段代码大约在19秒钟内完成，其中大约1秒用于大幅度增长，经过一些快速计算后，我认为完成这些工作的估计时间大约是：

18 + 1e8秒或大约3年。