如何利用Z3和CVC4结合SMT -LIB证明二面体群D3的定理

Question

在以前的帖子定理中，利用Z3 SMT-LIB证明了二面体群D3的一个定理.在这篇文章中，我们尝试使用以下SMT代码使用Z3和CVC4来证明这样的定理：

(set-logic AUFNIRA)
(set-option :produce-models true)
(set-option :incremental true)
(declare-sort S 0)
(declare-fun f (S S) S)
(declare-fun g (S) S)
(declare-fun E () S)
(declare-fun R1 () S)
(declare-fun R2 () S)
(declare-fun R3 () S)
(declare-fun R4 () S)
(declare-fun R5 () S)
(assert (forall ((x S))
            (= (f x E) x)))
(assert (forall ((x S))
            (= (f E x) x)))               
(assert (= (f R1 R1) R2))
(assert (= (f R1 R2) E))
(assert (= (f R1 R3) R4))
(assert (= (f R1 R4) R5))
(assert (= (f R1 R5) R3))
(assert (= (f R2 R1) E))
(assert (= (f R2 R2) R1))
(assert (= (f R2 R3) R5))
(assert (= (f R2 R4) R3))
(assert (= (f R2 R5) R4))
(assert (= (f R3 R1) R5))
(assert (= (f R3 R2) R4))
(assert (= (f R3 R3) E))
(assert (= (f R3 R4) R2))
(assert (= (f R3 R5) R1))
(assert (= (f R4 R1) R3))
(assert (= (f R4 R2) R5))
(assert (= (f R4 R3) R1))
(assert (= (f R4 R4) E))
(assert (= (f R4 R5) R2))
(assert (= (f R5 R1) R4))
(assert (= (f R5 R2) R3))
(assert (= (f R5 R3) R2))
(assert (= (f R5 R4) R1))
(assert (= (f R5 R5) E))
(assert (= (g E) E))
(assert (= (g R1) R2))
(assert (= (g R2) R1))
(assert (= (g R3) R3))
(assert (= (g R4) R4))
(assert (= (g R5) R5))
(check-sat)
(get-model)
(get-value ((f (f R3 R1) (g R3))))
(get-value (R2))
(assert (not (= (f (f R3 R1) (g R3)) R2))) 
(check-sat) 

当使用Z3或CVC4执行此代码时，将获得正确的结果。使用Z3 online 这里运行此代码

问题如下：

1. 在Z3的情况下，会产生消息unsupported ; :incremental。这个信息似乎不会改变结果，为什么？
2. 在CVC4的情况下，生成消息unknown，而Z3生成sat。再一次，这个信息似乎不会改变结果，为什么？
3. 如何使用Mathsat执行SMT代码。

Answer 1

关于问题1，选项:incremental不是SMT-Lib2.0标准的一部分.该标准定义/建议了一小组选项，这些选项应该得到所有求解者的支持，而:incremental不是其中之一。这可能是CVC4特定的选项。Z3只是忽略了这个命令。此外，Z3不需要用户启用增量解决方案。

关于问题2，SMT-Lib2.0标准说check-sat有3种可能的输出：unsat、sat和unknown。当求解者无法确定断言集是否可以满足时，就会使用unknown结果。有些求解者即使在生成unknown时也会生成“候选模型”。

据我所知，MathSAT 5还不支持量词。但是，这种情况今后应有所改变。

Answer 2

Mathsat似乎产生了正确的结果，但它生成了以下消息：

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