IEEE舍入格式

Question

我正在尝试从下面的关于快速IEEE舍入源中学习IEEE舍入的特性

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有人能解释一下围捕的方程式吗？修整意味着什么？地板和天花板的功能是什么？我试过IEEE 754，但没有提到这些

Answer 1

让我们从楼层()和天花板()开始(从现在起我将称之为"ceil“)。这些是将实数映射到整数的基本数学函数。从形式上讲，它们的定义如下：

floor(x) = max { n in Z | n <= x }
ceil(x) = min { n in Z | n >= x }

更明显的是，x的地板是不大于x的最大整数，而ceil是不小于x的最小整数。下面是一些例子：

• floor(1.5)是1。
• ceil(2)是2。
• floor(-3.14159)是-4。

有关更多细节，请咨询维基百科。

好，现在让我们转到四舍五入。每个实数x要么是整数(在这种情况下是floor(x) == x == ceil(x))，要么位于两个整数floor(x) < x < ceil(x)之间。从数学上讲，“舍入规则”是一个函数f，它用以下属性将实数映射到整数:对于每个实数x、f(x) = floor(x)或f(x) = ceil(x)。这为在任何情况下选择可能的结果留下了很大的灵活性，因此有许多不同的舍入规则。下面是一些示例(这些当然不是详尽无遗的)：

• floor( )和ceil( )中的每一个都是舍入规则。
• “圆向零”：简单地丢弃输入的小数部分。这也被称为截断，并且通常被写成一个称为trunc( )的数学函数。可以将其定义为trunc(x) = ceil(x) (如果是x < 0 )，而trunc(x) = floor(x)则定义为*。例如，trunc(1.5)是1，trunc(-2.7)是-2。
• “舍入零”或“向无穷远的圆”：这是截断的“反面”；如果x < 0的结果是floor(x)，则结果是ceil(x)。这个规则没有一个通用的数学名称，所以我把它叫做round-away( )。例如：round-away(1.001)是2，round-away(-0.7071067812)是-1。
• “循环到奇数”：如果输入的x是整数，则返回x。否则，看看floor(x)和ceil(x)。因为它们是连续整数，所以其中一个是偶数，另一个是奇数。把奇怪的还回去。例如：round-to-odd(1.001)是1，round-to-odd(-2.001)是-3，round-to-odd(4.0)是4.0。
• “圆到最近，联系到偶数”：这是IEEE-754的默认舍入模式。我会称它为round( )，但这个名称在C库中被用来表示不同的舍入规则，我不想混淆每个人，所以我将在这里将它命名为rne( )。这里的思路如下:如果有一个最接近x的唯一整数，则返回该整数。否则，x正好位于两个整数之间；其中一个是偶数，另一个是奇数。把偶数还回去。

最后一条规则可以写成"RU和补“，但从数学角度来看，这是一种有点奇怪的想法。更常见的是，它的正式定义大致如下：

rne(x) = floor(x)  if x - floor(x) < 0.5
         floor(x)  if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is even.
         ceil(x)   if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is odd.
         ceil(x)   if x - floor(x) > 0.5

这个rne( )规则的一些实际操作示例：rne(0.5)是0。rne(-1.5)是-2。rne(1.3)是1。rne(1.8)是2。

好的，这都是关于整数的四舍五入。这和舍入最近的浮点数有什么关系，比如IEEE-754？舍入规则不仅可用于整数的整和，还可通过简单地将其按b**n因子缩放到任意固定数的数字，其中b是表示的基础，而n被选中，以便该数字的所需舍入点最终位于单位位置( LSB)。当然，我们实际上并不需要对结果进行缩放；相反，我们只需将舍入规则中的ceil(x)和floor(x)替换为x值四舍五入，并达到所需的数字数。

*我在这里定义实数的数学函数，而不是给出IEEE-754的实现。因此，不需要处理诸如-0、inf或nan这样的边缘情况。