Coq坐标

Question

我很抱歉，如果这显然是张贴在某处，但我一直在尝试谷歌搜索，所以搜索，但没有发现这一点。

Part A.

在R^2和R^3中是否有定义坐标/矢量和点的标准库？我很想做一些标准的事情，比如添加向量，交叉产品，缩放等等。

如果没有，这是怎么开始的：

Require Import Coq.Reals.Reals.

Inductive Coordinate2 : Type := Point2: R -> R -> Coordinate2.

Definition R2plus (u:Coordinate2) (v:Coordinate2) : Coordinate2 :=
match u, v with
 | (Point2 ux uy),(Point2 vx vy)=>(Point2 ((ux+vx)%R) ((uy+vy)%R))
end.  

(* etc. *)

Notation "x + y" := (R2plus x y).

还有，为什么我跑的时候：

Eval compute in ((2%R) < (3%R))%R.

我能不能

= (2 < 3)%R
: Prop

而不是

 True

或者别的什么？

Part B.

这是个好主意吗？我想建立一个用实数计算某些事物的算法，并在Coq中证明该算法的正确性。Coq.Reals.Reals是应该使用的东西，还是真的太抽象了？

Answer 1

除了定义Coordinate2之外，您还可以使用(R * R)%type、list R或t R 2，其中在Vector中定义的t A n是大小n的列表。

您可能需要给您的符号一个范围和一个分隔键，以避免与其他符号发生冲突。

Notation "x + y" := (R2plus x y) : r2_scope.
Delimit Scope r2_scope with R2.
Eval compute in ((Point2 0 1) + (Point2 2 3))%R2.

Prop、Set和Type是几种类型，这意味着可以归纳地定义Prop类型的东西。

例如，对于nats，le被定义为

Inductive le : nat -> nat -> Prop :=
  | le_n : forall n, le n n
  | le_S : forall n m : nat, le n m -> le n (S m).

• 2 <= 2是真的，因为它有le_n 2居住
• 2 <= 3是真的，因为它有le_S 2 2 (le_n 2)居住
• 2 <= 4是真的，因为它有le_S 2 3 (le_S 2 2 (le_n 2))居住
• 3 <= 2是假的，因为它没有人居住

要使2 <= 3还原为True，必须定义le，例如，

Fixpoint le (n m : nat) : Prop :=
  match n with
  | 0 => True
  | S n =>
    match m with
    | 0 => False
    | S m => le n m
    end
  end.

Coq对Rplus和Rlt的定义实际上是公理。要检查某物的定义，请使用Print命令。

要回答B部分，我想这取决于你对数学分析的理解程度，以及定义数学分析的各种方法。如果你对数值方法比较熟悉，你可能会想用理性主义代替。