在二重的最小/最大值范围内，是否有双不能表示的整数？

Question

我意识到，当一个人处理IEEE 754双倍和浮动时，有些数字不能被表示，特别是当一个人试图在小数点之后用很多数字来表示数字时。这是很好理解的，但我很好奇，在双(或浮点数)的最小/最大值范围内是否有任何无法表示的整数，因此需要舍入到最近的可表示的IEEE 754表示？

例如，非常大的数字有时以双倍或浮动表示，即使它们是整数。显然，使用直接向上的int64或一些这样的大整数数据类型会更好，但人们仍然经常对大数使用双倍。

有没有什么数字可以被称为非代表性的，或者你能给我一个数学上的理由，为什么它不会是个问题？

Answer 1

当然，有些整数不能用双精度浮点数来表示.

所有不超过Pow(2, 53)或9007199254740992的整数都是可表示的。从Pow(2, 53)到Pow(2, 54) (即18014398509481984)，只有偶数是可表示的。奇数将四舍五入。

当然会继续这样下去。从Pow(2, 54)到Pow(2, 55)，只有4的倍数(4除的整数)是可表示的，从Pow(2, 55)到Pow(2, 56)只有8的倍数，以此类推。

这是因为double-precision floating-point format对于尾数有53位(二进制数字)。

很容易证实我的说法。例如，以数字10000000000000001作为integer64。将其转换为double，然后返回到integer64。你会看到精确性的损失。

当你用非常大的双精度数字，当然很小的百分比，整个数字是可表示的。例如，在1E+300附近(在Pow(2, 996)和Pow(2, 997)之间)，我们谈论的是Pow(2, 944) (1.4870169084777831E+284)的倍数。这与double精确到大约16位小数位数的事实是一致的。因此，一个拥有300位数字的整体数字，只会被第一次“记住”。16位数字(实际上是53位二进制数字)。

加法:第一个不能完全表示的十的力量是1E+23 (或100个六边形，短规模命名风格)。在这个数字附近，只有16777216的整数倍数(即Pow(2, 24))是可表示的，但10到23次方显然不是2比24幂的倍数。素因式分解是10**23 == 2**23 * 5**23，所以我们可以将两次平均除以23次，而不是按要求的24次。