为什么在Matlab和Octave中inv()和pinv()的输出不相等？

Question

我注意到，如果A是NxN矩阵，它有逆矩阵。但是inv()和pinv()函数的输出是不同的。-我的环境是Win7x64 SP1，Matlab R2012a，Cygwin Octave 3.6.4，FreeMat 4.2

看看Octave的例子：

A = rand(3,3)
A =
0.185987   0.192125   0.046346
0.140710   0.351007   0.236889
0.155899   0.107302   0.300623

pinv(A) == inv(A)
ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

• 在Matlab中运行相同的命令，结果都是相同的ans。

• 并计算了inv(A)*A或A*inv(A)，得到了八度和Matlab的恒等式3x3矩阵。
• A*pinv(A)和pinv(A)*A的结果是Matlab和FreeMat中的恒等式3x3矩阵。
• A*pinv(A)的结果是八阶的恒等式3x3矩阵。
• pinv(A)*A的结果不是八阶的3x3矩阵。

我不知道为什么inv(A) != pinv(A)，我已经考虑了矩阵中元素的细节。造成这一问题的原因似乎是浮动精度问题。

点后的10+数字可能与以下所示不同：

• 6.65858991579923298331777914427220821380615200000000元素在inv(A)(1,1)中的
• 6.65858991579923209513935944414697587490081800000000元素在pinv(A)(1,1)中的应用

Answer 1

在我看来，你似乎回答了你自己的问题。其原因是浮点算法。inv()和pinv()的算法并不完全相同，因为pinv()必须能够处理非平方矩阵。因此，答案不会完全相同。

如果您查看pinv(A)*A的值，您会发现它非常接近恒等矩阵。

我得到：

ans =

   1.0000e+00   6.1062e-16  -3.0809e-15
  -5.8877e-15   1.0000e+00   6.3942e-15
   2.4425e-15  -3.0184e-16   1.0000e+00

而不是将矩阵与==进行比较，而是使用< tolerance_limit

c = A*pinv(A);
d = pinv(A)*A;

(c-d) < 1e-10

Sidenote:

x = A^-1*b不应该被解决-- x = inv(A)*b;，而是x = A \ b; --参见the link Shai posted的解释。

Answer 2

浮点算法具有一定的精度，不能依赖于相等。为了避免这样的错误，您可以尝试使用matlab的符号工具箱。

非常简单的八度代码行来演示这些问题：

>>> (1/48)*48==(1/49)*49
ans = 0
>>> (1/48)*48-(1/49)*49
ans =  1.1102e-16
>>>

Answer 3

利用A=[1,1,0;1,0,1;2,1,1]算法计算了pinv(A) (2级)的伪逆矩阵.A*pinv(A)给出了一个非恒等矩阵，即A*pinv(A)=[0.667, -0.333, 0.333; -0.333, 0.667,0.333; 0.333, 0.333, 0.667].我认为对于奇异矩阵，最好是用svd()手工计算伪逆矩阵.

下面是一些更新：A*pinv(A)本身可能不同于恒等矩阵，因为它是非满秩的。它可能不依赖于pinv(A)的Matlab算法。