在误差范围内逼近π

Question

首先，这就是问题所在。

数学常数π(pi)是一个无理数，其数值约为3.1415928。π的精确值等于以下无限和:π=4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+…通过计算前几个项的和，我们可以得到π的一个很好的逼近。编写一个函数approxPi()，该函数将浮点值误差作为参数，并通过逐项计算上述和，在误差范围内逼近常量π，直到当前和与前一和之间的差的绝对值(加上一个较少的项)不大于误差。一旦函数发现差值小于误差，它就应该返回新的和。请注意，此函数不应使用来自数学模块的任何函数或常量。您应该使用所描述的算法来近似π，而不是使用Python中内置的值。

如果有人能帮助我理解问题所在，我会非常感激的，因为我已经读过很多次了，但仍然不能完全理解它的意思。我翻阅了我的教科书，发现了一个用e的无限和近似e的类似问题: 1/0！+ 1/1！+ 1/2！+1/3！+…

def approxE(error):
    import math
    'returns approximation of e within error'
    prev = 1 # approximation 0
    current = 2 # approximation 1
    i = 2 # index of next approximation
    while current-prev > error:
        #while difference between current and previous
        #approximation is too large
                            #current approximation
        prev = current      #becomes previous
                            #compute new approximation
        current = prev + 1/math.factorial(i) # based on index i
        i += 1              #index of next approximation
    return current

我试图以此为我的程序建模，但我不觉得我离解决方案越来越近了。

def approxPi(error):
    'float ==> float, returns approximation of pi within error'
    #π = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...
    prev = 4 # 4/1 = 4 : approx 0
    current = 2.6666 # 4/1 - 4/3 = 2.6666 : approx 1
    i = 5 # index of next approx is 5
    while current-prev > error:
        prev = current
        current = prev +- 1/i
        i = i +- 2
    return current

成功的程序应该返回

approxPi(0.5) = 3.3396825396825403，approxPi(3.3396825396825403)= 3.1659792728432157

再一次，任何帮助都将不胜感激。我只想明白我在这方面做错了什么。

Answer 1

如果您试图使用该系列来近似pi，请从写出以下几个术语开始：

π = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...
     0     1     2     3     4     5     ...

然后编写一个函数，返回本系列的第n项：

def nth_term(n):
    return 4 / (2.0 * n + 1) * (-1) ** n

从这里开始，代码非常通用：

def approximate_pi(error):
    prev = nth_term(0)  # First term
    current = nth_term(0) + nth_term(1)  # First + second terms
    n = 2  # Starts at third term

    while abs(prev - current) > error:
        prev = current
        current += nth_term(n)
        n += 1

    return current

它似乎适用于我：

>>> approximate_pi(0.000001)
    3.1415929035895926

Answer 2

有几个问题：

i = i +- 2不做你想做的事，也不知道它是什么。

正确的代码应该类似于(有很多方法)：

if i < 0:
    i = -(i-2)
else:
    i = -(i+2)

同样的情况也适用于：

current = prev +- 1/i

它应该是：

current = prev + 4.0/i

或者其他的东西，具体取决于存储在i中的内容。当心！在python2中，除非您从将来导入新的部门，否则您必须键入4.0，而不仅仅是4。

就我个人而言，我更倾向于变量、除数的绝对值和符号，以便在每次迭代中：

current = current + sign * 4 / d
d += 2
sign *= -1

好多了！

( B)循环结束时应检查错误的绝对值：

类似于：

while abs(current-prev) > error:

因为当前值跳过目标值，一个值更大，一个值更小，所以一个错误是正的，一个是负的。

Answer 3

我是这样做的：

def approxPi(error):
    # pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...
    value = 0.0
    term = 1.0e6
    i = 1
    sign = 1
    while fabs(term) > error:
        term = sign/i
        value += term
        sign *= -1
        i += 2
    return 4.0*value

print approxPi(1.0e-5)