具有复元和下三角方阵的线性最小二乘解系统Ax=b

Question

我想用线性最小二乘的方式求解线性系统Ax = b，从而得到x。矩阵A、x和b包含复数元素。

矩阵A具有n表示的n维数，A是下三角矩阵。载体b和x的长度为n。这个系统中的未知数和方程一样多，但是由于b是一个包含实际测量“数据”的向量，我怀疑最好用线性最小二乘的方式来实现。

我正在寻找一个算法，将有效地解决这个系统的LLS方式，也许使用稀疏矩阵数据结构的下三角矩阵A。

也许有一个C/C++库已经有这样的算法可用了？(我怀疑，由于优化的代码，最好使用库。)从本征矩阵库中可以看出，奇异值分解可以用最小二乘方法(链接到特征文档)求解方程组。然而，如何处理本征中的复数呢？

看来，本征库与SVD一起工作，然后将其用于LLS求解。

下面是一个代码片段，演示了我想要做的事情：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <complex>

using namespace Eigen;

int main()

{

    // I would like to assign complex numbers
    // to A and b

    /*
    MatrixXcd A(4, 4);
    A(0,0) = std::complex(3,5);     // Compiler error occurs here
    A(1,0) = std::complex(4,4);
    A(1,1) = std::complex(5,3);
    A(2,0) = std::complex(2,2);
    A(2,1) = std::complex(3,3);
    A(2,2) = std::complex(4,4);
    A(3,0) = std::complex(5,3);
    A(3,1) = std::complex(2,4);
    A(3,2) = std::complex(4,3);
    A(3,3) = std::complex(2,4);
    */

    // The following code is taken from:
    // http://eigen.tuxfamily.org/dox/TutorialLinearAlgebra.html#TutorialLinAlgLeastsquares

    // This is what I want to do, but with complex numbers
    // and with A as lower triangular

    MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 3);
    std::cout << "Here is the matrix A:\n" << A << std::endl;
    VectorXf b = VectorXf::Random(3);
    std::cout << "Here is the right hand side b:\n" << b << std::endl;
    std::cout << "The least-squares solution is:\n"
    << A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) << std::endl;
}// end

下面是编译器错误：

 error: missing template arguments before '(' token

更新

这是一个更新的程序，显示如何处理LLS的解决使用本征。这段代码确实编译正确。

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

#include <complex>


using namespace Eigen;


int main()

{

    MatrixXcd A(4, 4);
    A(0,0) = std::complex<double>(3,5);
    A(1,0) = std::complex<double>(4,4);
    A(1,1) = std::complex<double>(5,3);
    A(2,0) = std::complex<double>(2,2);
    A(2,1) = std::complex<double>(3,3);
    A(2,2) = std::complex<double>(4,4);
    A(3,0) = std::complex<double>(5,3);
    A(3,1) = std::complex<double>(2,4);
    A(3,2) = std::complex<double>(4,3);
    A(3,3) = std::complex<double>(2,4);

    VectorXcd b(4);
    b(0) = std::complex<double>(3,5);
    b(1) = std::complex<double>(2,0);
    b(2) = std::complex<double>(8,2);
    b(3) = std::complex<double>(4,8);

        std::cout << "Here is the A matrix:" << std::endl;
    std::cout << A << std::endl;

        std::cout << "Here is the b vector:" << std::endl;
        std::cout << b << std::endl;

    std::cout << "The least-squares solution is:\n"

        << A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) << std::endl;


}// end

Answer 1

因为std::complex是一个模板类，您可以在std::complex(1,1);中加入它，所以编译器不知道它是什么类型。

使用std::complex<double>(1, 1);代替。