我怎么知道谁能在圣诞节送礼物给谁？

Question

假设有一个七口之家，比如说，

["John", "James", "Jenna", "Joseph", "Jane", "Jacob", "Joanne"]

他们都在为圣诞礼物赠送季节做准备。他们已经商定了一些规则，以确保一切顺利进行：

• 每个人都必须送一份礼物。
• 每个人都必须收到一份礼物。
• 谁也不能给自己送礼物。
• 没有人可以送礼物给他的配偶。(简和约翰是配偶)
• 没有人可以给他去年给的那个人。(去年，约翰给了詹姆斯，詹姆斯给了珍娜，珍娜给了约瑟夫，约瑟夫给了简，简给了雅各布，雅各布给了乔安妮，乔安妮给了约翰)
• 最后，没有两个人可以互相赠送礼物。例如，如果约翰给珍娜，珍娜可能不会回报约翰。

由于规则如此复杂，他们很难弄清楚谁能在遵守这些规则的同时给予谁。因此，他们雇佣我来编写一个程序，展示人们可以相互给予的所有可能的合法方式。

我能用什么算法巧妙地解决这个问题呢？

Answer 1

我会使用一个简单的回溯算法。使用Python生成器函数：

def calc_gifts(names, blacklist, gifts={}):
    if len(names) > 0:
        name, rest = names[0], names[1:]
        for other in names + list(gifts):
            if (other != name and 
                    other not in blacklist[name] and
                    (other not in gifts or gifts[other] != name) and
                    other not in gifts.values()):

                gifts_new = dict(gifts.items() + [(name, other)])
                for solution in calc_gifts(rest, blacklist, gifts_new):
                    yield solution
    else:
        yield gifts

现在，我们设置名称和黑名单，并让生成器生成一个解决方案：

all_names = ["john", "james", "jenna", "joseph", "jane", "jacob", "joanne"]
blacklist = {"john":   ["james", "jane"],
             "james":  ["jenna"],
             "jenna":  ["joseph"],
             "joseph": ["jane"],
             "jane":   ["jacob", "john"],
             "jacob":  ["joanne"],
             "joanne": ["john"]}
generator = calc_gifts(all_names, blacklist)
solution = next(generator)

然后，solution是送礼者和-receivers的dict，例如{'joanne': 'joseph', 'james': 'john', 'jane': 'joanne', 'joseph': 'jacob', 'jacob': 'jane', 'john': 'jenna', 'jenna': 'james'}。

对于第一个解决方案，即使用next(generator)，只调用10次calc_gifts；对于所有224个解决方案，例如使用list(generator)，大约调用它。1000次。

Answer 2

如果您从一个7x7网格开始，每个人都有一行和一列，表示是否允许行中提到的人给列中提到的人送礼物。

首先，将每个组合标记为允许的，然后开始删除那些被约束条件3、4和5明显不允许的组合。每个有效的礼物组合都必须是您在此时留下的组合的子集。这将是你的起始位置。

现在你必须开始做决定，每一个决定都会影响到你留下的可能性。有些决定可能会被证明是错误的，导致并非每个人最终都得到了礼物。在这种情况下，您应该收回这个决定，然后尝试另一个决定(提示:使用递归)。

如果你以结构化的方式尝试所有的可能性，你一定会找到所有的解决方案，如果它们存在的话。

现在，让他们的钱值:)