如何在魔法森林中创建K组合器？(模仿一只知更鸟)

Question

回想一下，K组合子是一个常量函数。它总是返回第一个参数：

Kxy = x for all y

在“模仿一只知更鸟”一书中，作者给出了一个包含会说话的鸟的魔法森林的例子。这些鸟有以下行为：

给定任何一种鸟A和B，如果你叫出B到A的名字，那么A就会向你喊出某只鸟的名字:这只我们将由AB指定的鸟。

假设森林由三只鸟组成，A、B和C。至少有一只鸟能像K组合器那样行动吗？

下面是一张表格，显示了一组可能的行为，鸟类在魔法森林。第一列有森林中每一只鸟的名字。上面一行的名字可能会被叫给每一只鸟。身体是鸟对一个名字的反应。例如，如果您将A的名称呼叫到bird，则bird将用C响应(参见第2行，第2列)。简洁地说，AA = C。如果你叫出B的名字给鸟A，那么鸟A会用B回应(见第2行，第3栏)。简单地说，AB = B. AC的空槽应该放什么值？

   | A    B    C
------------------
A  | C    B
B  | B    B    B
C  | A    A    A

让我们看看我们能不能让鸟A的行为像K组合器。上述一组值看起来很有希望：

• AA =C，Cy =A表示全部y，即(AA)y =A，
• AB =B，By =B表示全部y，即(AB)y =B表示所有y.

空槽(AC)应该放什么值？审议所有案件：

如果AC =A，则

• 对于所有y，Ay的值必须是C，这显然是假的。因此，A不能是空槽的正确值。
• 如果AC =B，则所有y的By值必须为C，这显然是假的。因此，B不能是空槽的正确值。
• 如果AC =C，那么对于所有y，Cy的值必须是C，这显然是假的。因此，c不能是空槽的正确值。

因此，对于每一个y，都不能在空槽中放置任何值来满足条件(AC)y = C。

据我所知，不可能让任何一只鸟表现得像个K组合器。我希望你能证明我错了。

Answer 1

你是对的。任何数目超过1的鸟类都是不可能的。

简单的论点是，如果有这样的鸟K，在K的图像中的每一只鸟都是常数(根据定义)，而每一只鸟都是在K的图像中(通过基数论)，包括K本身，这显然是非常数的。