正确变换曲面法线

Question

根据OpenGL红皮书附录F，一个规则的三维变换矩阵M可以用来计算法向量上的作用，如：

normalTransformed = transpose(inverse(M)) * normal

然而，虽然与变换后的法线相关联的正交平面确实与变换后的曲面平行，但可能发生的情况是，变换后的法向量本身正指向与我预期相反的方向，即“进入”曲面，而不是“离开”曲面。

如果我想让normalTransformed指向正确的方向(也就是说，当它所连接的表面未被转换时，它所指向的方向相同)，那么我应该如何从数学上做到这一点呢？

示例

假设我的曲面法线是(0,0,1)，而我的变换是Z方向上10的平移。然后，变换矩阵M是：

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 10

0 0 0 1

转座子(反向(M))则是：

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 -10 1

适用于齐次坐标下的曲面法线(0,0,1)，即(0,0,1,1)，这给出：

normalTransformed = (0，0，1，-9)

从齐次坐标返回：

(0，0，-1/9)

正规化至长度1：

(0，0，-1)

它指向与原始法向量(0，0，1)相反的方向。

Answer 1

应用于齐次坐标下的曲面法线(0,0,1)，即(0,0,1,1)

好了，停在那儿。

如果你要把曲面法线看作齐次坐标，你用一个零作为W分量，而不是1。现在，你可能很快就会意识到你不能除以零，但这也是为什么你不对法线做齐次的数学。

正常不是一个位置，而是一个方向。方向没有位置，所以翻译它们是没有意义的。具有W=0的同构位置表示一个无限远的“位置”(这就是为什么您不能将它们分开)。无限远的位置与每一个有限的点都是无限远的。

因此，在无穷远处的位置就是一个方向:它不会改变方向，不管你从什么(有限)位置看它。

现在，如果您有一个4x4矩阵，并且需要通过它来转换一个法线，那么您只需要使用W=0，因为它可以解决数学问题。它去掉了矩阵的翻译成分。后变换W分量应完全忽略。

因此，在转换之后，您可以得到以下内容：

normalTransformed = (0，0，1，-9)

在忽略W组件之后，它变成：

normalTransformed = (0，0，1)

更有可能的是，你的正常人实际上并没有在正确的方向上开始。当然，在没有代码和数据的情况下，可以说的不多了，但假设输入是合法的，那么数学就可以工作。

另外，不要在着色器中做反/转置。在CPU上执行，并将生成的矩阵传递给着色器。

Answer 2

问题是，您被w坐标除以，就好像您的正常值是一个点一样。(当使用w<0时，这种划分将逆转您的正常情况。)相反，您需要完全忽略w-coordinate:完全放弃它，而不是按照它进行除法。

你的法线不是一个点，它在技术上是一个协向量(这就是为什么它与点和向量不同的原因)。它实际上没有一个w-coordinate --添加它的唯一原因是为了方便使用现有的4x4矩阵例程。

如果确实添加了任意的w-coordinate，则具有给定法线的平面的齐次坐标。像法线一样，这样的平面也是由变换点的矩阵的逆转置来转换的(注意，用它的w-coordinate除以平面也是没有意义的--平面也不是点！)

如果法线是从三角形派生出来的，则三角形的平面应该具有这个法线--然而，法线显式缺乏确定该平面是哪个平面的w-coordinate。将任意的w添加到法线(无论是0、1还是其他什么)意味着选择带有该法线的任意平面，因此转换它将产生一个与转换的法线相同的任意平面；这就是为什么在用4x4矩阵进行转换后，需要忽略w。

Answer 3

Nicol Bolas在他的回答中所写的是绝对正确的，事实上，我不会重复这些概念。

但我在问题中注意到，有几点可能是有趣的。

首先，正规矩阵通常被定义为模型视图矩阵左上角3x3矩阵的逆的转置。这是因为法线不是用齐次位置来定义的，实际上，4x4矩阵是不必要的；如果您想使用整个模型视图矩阵，请按照Nicol Bolas的方向，但数学不变。(因为w是零)。

第二，你说过

，我希望normalTransformed指向正确的方向(也就是当它所连接的表面未被转换时所指向的相同方向)，我应该如何从数学上做到这一点？

利用正态矩阵与模型变换进行相干变换(实际上，法矩阵是由模型视图矩阵导出的)。我可以从你的话中了解到，你想要的是正常而不是改变.实际上，你为什么要改变它？你可以直接使用“正常”。