格伦迪的游戏把一堆分成两个不等长的堆

Question

我遇到了一个问题。

有N桩的石头，在那里的第一桩有西安的石头。爱丽丝和鲍勃玩以下游戏：

a. Alice starts, and they alternate turns.

b. In a turn, a player can choose any one of the piles of stones and divide the stones in it into any number of unequal piles such that no two of the piles you create should have the same number of stones. For example, if there 8 stones in a pile, it can be divided into one of these set of piles: (1,2,5), (1,3,4), (1,7), (2,6) or (3,5). 

c. The player who cannot make a move (because all the remaining piles are indivisible) loses the game.

假设双方都发挥得最好，那么谁会赢得这场比赛呢？

最重要的声明--“答案应该是爱丽丝，如果爱丽丝赢了，答案是鲍勃。”

现在我的问题是，如果我们最初只有一堆8块石头，那么实际的答案是Bob。但就我所想，如果爱丽丝把最初的8块石头分成两堆，即7和1，即8->7+1，那么如果艾丽斯以最好的策略(最佳)打球，鲍伯就不可能赢。但答案是鲍勃。有人能帮我找出为什么答案是鲍勃吗？我认为以上我所指出的最重要的声明，在这个答覆中是很重要的，但我仍未能明白。有人能帮忙吗？您可以参考这个链接，它在“格伦迪的游戏”维基百科上显示了完全相同的插图。

任何基本的想法也是值得赞赏的。

伙计们，这正是我所面临的问题。任何一个小的想法也是值得赞赏的。

Grundy的游戏扩展到两堆以上

Answer 1

如果艾丽斯走在第一位，她所能采取的任何一招都不会让她赢。用尽的证据：

如果艾丽斯将石头分成5,2,1，那么鲍勃将以以下方式获胜：

1. 轮到鲍勃了。5,2,1 -> 4,2,1,1
2. 轮到爱丽丝了。她唯一合法的做法就是把这四个人分开。4,2,1,1 -> 3,2,1,1,1
3. 轮到鲍勃了。3,2,1,1,1 -> 2,2,1,1,1,1
4. 轮到爱丽丝了。没有任何动作可用。爱丽丝输了。

如果艾丽斯将石头分成4,3,1，那么鲍勃将以以下方式获胜：

1. 轮到鲍勃了。4,3,1 -> 3,3,1,1
2. 轮到爱丽丝了。她唯一合法的做法就是除以三。3,3,1,1 -> 3,2,1,1,1
3. 轮到鲍勃了。3,2,1,1,1 -> 2,2,1,1,1,1
4. 轮到爱丽丝了。没有任何动作可用。爱丽丝输了。

如果艾丽斯将石头分成7,1，那么鲍勃将以以下方式获胜：

1. 轮到鲍勃了。7,1 -> 4,2,1,1 (请注意，在维基百科的“只分成两堆”规则下，这是不可能的，但在OP的“任意数量的堆”规则下是不可能的。)
2. 轮到爱丽丝了。她唯一合法的做法就是把这四个人分开。4,2,1,1 -> 3,2,1,1,1
3. 轮到鲍勃了。3,2,1,1,1 -> 2,2,1,1,1,1
4. 轮到爱丽丝了。没有任何动作可用。爱丽丝输了。

如果艾丽斯将石头分成6,2，那么鲍勃将以以下方式获胜：

1. 轮到鲍勃了。6,2 -> 4,2,2
2. 轮到爱丽丝了。她唯一合法的做法就是把这四个人分开。4,2,2 -> 3,2,2,1
3. 轮到鲍勃了。3,2,2,1 -> 2,2,2,1,1
4. 轮到爱丽丝了。没有任何动作可用。爱丽丝输了。

如果艾丽斯将石头分成5,3，那么鲍勃将以以下方式获胜：

1. 轮到鲍勃了。5,3 -> 3,3,2
2. 轮到爱丽丝了。她唯一合法的做法就是除以三。3,3,2 -> 3,2,2,1
3. 轮到鲍勃了。3,2,2,1 -> 2,2,2,1,1
4. 轮到爱丽丝了。没有任何动作可用。爱丽丝输了。

Answer 2

如果爱丽丝发挥得最好，我看不出鲍勃能以什么方式赢得这场比赛。维基百科解释得很恰当。如果两人都发挥得最好，如果8是石头的初始数量，那么爱丽丝就会赢。因为在完成1轮(两次都转1次)之后，Alice总是可以使用配置4+2+1+1强制执行Bob。