分割bezier曲线

Question

我正在为iPhone开发一款游戏，当你移动时，它会在你的角色之后创建一条路径(动作类似于蛇，但在转向方面是弯曲的)。我现在做这件事的方法是把玩家所有的顶点都放在一个数组中，然后在每个帧上画一个圆圈。

我想继续使用贝塞尔曲线代替。我读了很多关于他们的书，我很了解他们，但我对数学不是很在行。我的理解是，我应该使用DeCasteljau的算法在一个特定的t上分割曲线，但是我还没有找到使用哪个公式以及如何在代码中实现这一点。

所以，我现在拥有的是t=1曲线的所有控制点，现在我只想得到t<1的所有控制点，有人能给我一个容易理解的数学公式吗?或者一个实现(最好是在python或objective中)。也许你甚至可以在iphone中使用一个对象来分割曲线？

Answer 1

我设法让它发挥作用，实际上，非常简单的数学。只需计算bezier的所有切线，就可以得到积分。

这里有一些python:

def sliceBezier(points, t):
    x1, y1 = points[0]
    x2, y2 = points[1]
    x3, y3 = points[2]
    x4, y4 = points[3]

    x12 = (x2-x1)*t+x1
    y12 = (y2-y1)*t+y1

    x23 = (x3-x2)*t+x2
    y23 = (y3-y2)*t+y2

    x34 = (x4-x3)*t+x3
    y34 = (y4-y3)*t+y3

    x123 = (x23-x12)*t+x12
    y123 = (y23-y12)*t+y12

    x234 = (x34-x23)*t+x23
    y234 = (y34-y23)*t+y23

    x1234 = (x234-x123)*t+x123
    y1234 = (y234-y123)*t+y123

    return [(x1, y1), (x12, y12), (x123, y123), (x1234, y1234)]

To调用它：

sliceBezier([(point1_x, point1_y),(controlpoint1_x, controlpoint1_y),(controlpoint2_x, controlpoint2_y),(point2_x, point2_y)], 0.23);

Answer 2

我实现了类似的东西，如果您有一个现代浏览器看看这里。它是在javascript中实现的，并且还支持更高级的beziers。

Answer 3

这里有一个使用苹果SIMD的解决方案。它简洁，并返回两个细分曲线。

void SplitBezier(float t,
                 simd_float2 cv[4],
                 simd_float2 a[4],
                 simd_float2 b[4]) {

  a[0] = cv[0];
  b[3] = cv[3];

  a[1] = simd_mix(cv[0], cv[1], t);
  b[2] = simd_mix(cv[2], cv[3], t);

  auto b12 = simd_mix(cv[1], cv[2], t);

  a[2] = simd_mix(a[1], b12, t);
  b[1] = simd_mix(b12, b[2], t);

  a[3] = b[0] = simd_mix(a[2], b[1], t);

}