Bezier曲线求值

Question

我在这里使用de的算法评估跟踪本文，并尝试使用主题在C++，OpenGL中用De Casteljau算法绘制Bezier曲线提供帮助。没有成功。

求值时，我的bezier曲线如下所示

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正如你所看到的，即使它没有达到我想要的效果，但所有的点都在曲线上。因此，我不认为这个算法是不准确的。

这是我在那张图像的顶部曲线上的点：(0,0) (2,0) (2,2) (4,2)第二条曲线使用相同的点集，除了第三点是(0,2)，即在第一点之上的两个单位，形成一个更陡峭的曲线。

有些地方不对劲。我应该为t加0.25个，它应该为X值喷出1.0，.75应该总是返回3，假设t是时间。它应该以恒定的速度前进，是吗？精确的25%的方式，X值应该是1.0，然后Y应该与该值相关联。

有什么足够的方法来评估bezier曲线吗？有人知道这是怎么回事吗？

(谢谢你的帮助！)

编辑？。

我在谷歌搜索curves.pdf中找到了这本书，这是我在显式/非参数bezier曲线上找到的页面。它们是用bezier曲线表示的多项式，这就是我要说的。这是这本书的那一页：

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有人知道如何将bezier曲线转换成参数曲线吗？我现在可以打开另一条线..。

2011年11月1日再次编辑-

我意识到我只问了这个问题，大概是我应该问的一半。我想要构建的是玛雅的动画图形编辑器，比如这个http://www.youtube.com/watch?v=tckN35eYJtg&t=240，其中用来修改曲线的贝塞尔控制点更像是等长的切线修饰符。老实说，我不记得他们是一样长的。通过强制这样的系统，您可以确保100%的结果是一个函数，并且不包含重叠段。

我找到了这个，这可能是我的答案，编辑器

Answer 1

过了这么久，我一直在找她的曲线。Hermites是好的，因为在一维，他们保证产生一个功能曲线，可以评估到XY点。我把Hermites和Bezier搞混了。

Answer 2

在这里，您可以看到在链接中的术语下面用Mathematica实现的算法，以及您的两幅图：

(*Function Definitions*)

lerp[a_, b_, t_] := (1 - t) a + t b;
pts1[t_] := {
   lerp[pts[[1]], pts[[2]], t],
   lerp[pts[[2]], pts[[3]], t],
   lerp[pts[[3]], pts[[4]], t]};
pts2[t_] := {
   lerp[pts1[t][[1]], pts1[t][[2]], t],
   lerp[pts1[t][[2]], pts1[t][[3]], t]};
pts3[t_] := {
   lerp[pts2[t][[1]], pts2[t][[2]], t]};

(*Usages*)

pts = {{0, 0}, {2, 0}, {2, 2}, {4, 2}};
Framed@Show[ParametricPlot[pts3[t], {t, 0, 1}, Axes -> True], 
            Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@pts}]]

pts = {{0, 0}, {2, 0}, {0, 2}, {4, 2}};
Framed@Show[ParametricPlot[pts3[t], {t, 0, 1}, Axes -> True], 
            Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@pts}]]

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顺便说一句，曲线是由以下参数方程定义的，这些参数方程是上面代码中的函数pts3[t]：

c1[t_] := {2 t (3 + t (-3 + 2 t)), (* <- X component *)
                 2 (3 - 2 t) t^2}  (* <- Y component *)

和

c2[t_] := {2 t (3 + t (-6 + 5 t)), (* <- X component *)
               , 2 (3 - 2 t) t^2}  (* <- Y component *)

试试策划他们！

取任何这些曲线方程，通过求解三次多项式，你就可以得到yx的表达式，这当然不总是可能的。您只需从第一条曲线(C语法)中了解它的味道：

y[x]= 3 - x - 3/Power(-2 + x + Sqrt(5 + (-4 + x)*x),1/3) + 
              3*Power(-2 + x + Sqrt(5 + (-4 + x)*x),1/3)

Try plotting it!

编辑

只是一种娱乐：

Mathematica是一种功能强大的语言，实际上整个算法可以用一行代码来表示：

f = Nest[(1 - t) #[[1]] + t #[[2]] & /@ Partition[#, 2, 1] &, #, Length@# - 1] &

比如

f@{{0, 0}, {2, 0}, {0, 2}, {4, 2}}

给出上述结果，但支持任意数量的点。

让我们来看看六个随机点：

p = RandomReal[1, {6, 2}];
Framed@Show[
  Graphics[{Red, PointSize[Large], Point@p}],
  ParametricPlot[f@p, {t, 0, 1}, Axes -> True]]

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此外，同样的功能也适用于3D：

p = RandomReal[1, {4, 3}];
Framed@Show[
  Graphics3D[{Red, PointSize[Large], Point@p}],
  ParametricPlot3D[f[p], {t, 0, 1}, Axes -> True]]

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Answer 3

bezier曲线可以通过求解x、y和z坐标的下列参数方程来求解(如果它只是2D，只做x和y)：

Px = (1-t)^3(P1x) + 3t(1-t)^2(P2x) + 3t^2(1-t)(P3x) + t^3(P4x)
Py = (1-t)^3(P1y) + 3t(1-t)^2(P2y) + 3t^2(1-t)(P3y) + t^3(P4y)
Pz = (1-t)^3(P1z) + 3t(1-t)^2(P2z) + 3t^2(1-t)(P3z) + t^3(P4z)

还可以通过乘以矩阵方程ABC =X来解决这个问题，其中：

1. 矩阵A是一个1x4矩阵，表示t的幂值。
2. 矩阵B是t的幂系数，是一个下三角4x4矩阵。
3. 矩阵C是一个4x3矩阵，它代表三维空间中的四个bezier点(它将是2D空间中的一个4x2矩阵)。

如下所示：

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(更新-左下角1应该是a -1)

方程的两种形式(参数形式和矩阵形式)的一个重要注意事项是，t在0，1的范围内。

与其试图求解t的值，这将给出x和y的积分值，这将是耗时的，因为你基本上是在求解一个3次多项式的真实根，最好是简单地在t值中创建一个足够小的微分，这样曲线上任何两个点之间的差值都小于像素值增量。换句话说，P(t1)和P(t2)两点之间的距离小于像素值。或者，您可以在t中使用更大的微分，只需在P(t1)和P(t2)之间线性内插，同时要记住，如果P(t1)和P(t2)之间的差异对于给定的t范围(从0，1 )来说不够小，则曲线可能不是“光滑的”。

在t中找到从视觉角度创建相当“光滑”曲线的必要微分的一个好方法是实际测量定义bezier曲线的四个点之间的距离。测量P1到P2、P2、P3和P3到P4的距离。然后取最长距离，并使用该值的逆值作为t的微分。你可能还需要在点之间做一些线性插值，但是每个“线性”子曲线中的像素数应该相当小，因此曲线本身看起来相当平滑。您可以始终将t上的差分值从这个初始值降到“平滑”。

最后，回答你的问题：

假设这是时间。它应该以恒定的速度前进，是吗？精确的25%的方式，X值应该是1.0，然后Y应该与该值相关联。

不，这是不正确的，原因是向量(P2 - P1)和(P3 - P4)不仅与P1和P4的bezier曲线相切，而且它们的长度也定义了在这些点沿曲线的速度。因此，如果向量(P2 - P1)是一个短距离，那么这意味着在给定的时间内t，您将不会很远地从点P1 .这转化为x，y值沿曲线非常紧密地包装在一起，一个给定的固定微分的t。当你向P1移动时，你的速度实际上是“减慢”了。同样的影响发生在P4上的曲线上，这取决于向量的长度(P3 - P4)。唯一的方法，沿着曲线的速度将是“恒定”，因此，任何一点之间的任何一点之间的共同微分t将是相同的，如果所有三个区段的长度(P2 - P1)，(P3 - P2)和(P4 - P3)是相同的。这就表明曲线上的速度没有变化。