数学编程的一个挑战

Question

我正在与Mathematica接口一个外部程序。我正在为外部程序创建一个输入文件。它是关于将数学生成的图形中的几何数据转换成预定义格式的。这是一个几何的例子。

图1

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几何学可以用数学的多种方式来描述。一条艰苦的道路是如下所示。

dat={{1.,-1.,0.},{0.,-1.,0.5},{0.,-1.,-0.5},{1.,-0.3333,0.},{0.,-0.3333,0.5},
{0.,-0.3333,-0.5},{1.,0.3333,0.},{0.,0.3333,0.5},{0.,0.3333,-0.5},{1.,1.,0.},
{0.,1.,0.5},{0.,1.,-0.5},{10.,-1.,0.},{10.,-0.3333,0.},{10.,0.3333,0.},{10.,1.,0.}};

Show[ListPointPlot3D[dat,PlotStyle->{{Red,PointSize[Large]}}],Graphics3D[{Opacity[.8],
Cyan,GraphicsComplex[dat,Polygon[{{1,2,5,4},{1,3,6,4},{2,3,6,5},{4,5,8,7},{4,6,9,7},
{5,6,9,8},{7,8,11,10},{7,9,12,10},{8,9,12,11},{1,2,3},{10,12,11},{1,4,14,13},
{4,7,15,14},{7,10,16,15}}]]}],AspectRatio->GoldenRatio]

这将以MMA的GraphicsComplex格式生成所需的三维几何。

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此几何描述为我的外部程序的以下输入文件。

# GEOMETRY
# x y z [m]
NODES 16
1. -1. 0.
0. -1. 0.5
0. -1. -0.5
1. -0.3333 0.
0. -0.3333 0.50. -0.3333 -0.5
1. 0.3333 0.
0. 0.3333 0.5
0. 0.3333 -0.5
1. 1. 0.
0. 1. 0.5
0. 1. -0.5
10. -1. 0.
10. -0.3333 0.
10. 0.3333 0.
10. 1. -0.
# type node_id1 node_id2 node_id3 node_id4  elem_id1 elem_id2 elem_id3 elem_id4
PANELS 14
1 1 4 5 2 4 2 10 0
1 2 5 6 3 1 5 3 10
1 3 6 4 1 2 6 10 0
1 4 7 8 5 7 5 1 0
1 5 8 9 6 4 8 6 2
1 6 9 7 4 5 9 3 0
1 7 10 11 8 8 4 11 0
1 8 11 12 9 7 9 5 11
1 9 12 10 7 8 6 11 0
2 1 2 3 1 2 3
2 10 12 11 9 8 7
10 4 1 13 14 1 3
10 7 4 14 15 4 6
10 10 7 15 16 7 9
# end of input file

现在，我从这个外部程序的文档中得到的描述非常简短。我在这里引用它。

1. 首先，关键字节点声明节点总数。在这一行之后，不应该有注释或空行。下一行由三个值x、y和z节点坐标组成，行数必须与节点数相同。
2. 下一个关键字是面板，并说明我们有多少面板。在那之后，我们有定义每个面板的线条。第一个整数定义面板类型
3. ID 1 --四边形面板--由四个节点和四个相邻面板定义。相邻面板是具有相同边(对节点)的面板，用于速度和压力计算(方法1和方法2)。缺少的邻居(例如，后面边缘附近的面板)填充值为0(请参见图1)。
4. ID 2 --三角形面板--由三个节点和三个相邻面板定义。
5. ID 10 --尾流面板--是由四个节点定义的四边形面板，两个相邻的面板位于尾流板的后缘(尾流面板适用库塔条件)。
6. 必须在输入文件中的类型10之前定义面板类型1和2。重要的是要注意的是表面法线；节点的顺序定义面板应该逆时针方向。根据右手规则，如果手指弯曲以跟随编号，拇指将显示应该指向“向外”几何学的法线矢量。

挑战！！

在一个名为One.obj的文件中给出了一个三维CAD模型，并在MMA中导出。

cd = Import["One.obj"]

输出是MMA Graphics3D对象。

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现在，当MMA内部读取几何数据时，我可以轻松地访问它们。

{ver1, pol1} = cd[[1]][[2]] /. GraphicsComplex -> List;
MyPol = pol1 // First // First;
Graphics3D[GraphicsComplex[ver1,MyPol],Axes-> True]

​

​

1. 如何使用ver1和pol1中包含的顶点和多边形信息，并将它们写入文本文件中，如上面的输入文件示例所述。在这种情况下，我们将只有ID2类型(三角形)面板。
2. 利用Mathematica三角剖分，如何找到这个三维物体的表面积。在MMA中是否有计算表面积的内建函数？
3. 现在不需要创建wake面板或ID10类型元素。只包含三角形元素的输入文件将很好。

很抱歉，这么长的帖子，但这是一个谜，我正试图解决很长时间。希望你们中的一些专家能有正确的洞察力来破解它。

BR

Answer 1

Q1和Q2非常容易，您可以在问题中去掉“挑战性”标签。Q3可能需要一些澄清。

Q1

edges = cd[[1, 2, 1]];

polygons = cd[[1, 2, 2, 1, 1, 1]];

更新Q1

主要问题是找出每个多边形的邻域。如下所述：

(* Split every triangle in 3 edges, with nodes in each edge sorted *)
triangleEdges = (Sort /@ Subsets[#, {2}]) & /@ polygons;

(* Generate a list of edges *)
singleEdges = Union[Flatten[triangleEdges, 1]];

(* Define a function which, given an edge (node number list), returns the bordering  *)
(* triangle numbers. It's done by working through each of the triangles' edges       *)
ClearAll[edgesNeighbors]
edgesNeighbors[_] = {};
MapIndexed[(
   edgesNeighbors[#1[[1]]] = Flatten[{edgesNeighbors[#1[[1]]], #2[[1]]}];
   edgesNeighbors[#1[[2]]] = Flatten[{edgesNeighbors[#1[[2]]], #2[[1]]}];
   edgesNeighbors[#1[[3]]] = Flatten[{edgesNeighbors[#1[[3]]], #2[[1]]}];
   ) &, triangleEdges
];

(* Build a triangle relation table. Each '1' indicates a triangle relation *)
relations = ConstantArray[0, {triangleEdges // Length, triangleEdges // Length}];
Scan[
  (n = edgesNeighbors[##]; 
     If[Length[n] == 2, 
        {n1, n2} = n; 
        relations[[n1, n2]] = 1;  relations[[n2, n1]] = 1];
   ) &, singleEdges
]

MatrixPlot[relations]

​

​

(* Build a neighborhood list *)
triangleNeigbours = 
    Table[Flatten[Position[relations[[i]], 1]], {i,triangleEdges // Length}];

(* Test: Which triangles border on triangle number 1? *)
triangleNeigbours[[1]]

(* ==> {32, 61, 83} *)

(* Check this *)
polygons[[{1, 32, 61, 83}]]

(* ==> {{1, 2, 3}, {3, 2, 52}, {1, 3, 50}, {19, 2, 1}} *)
(* Indeed, they all share an edge with #1 *)

您可以使用描述为这里的低级别输出函数来输出这些输出。我把细节留给你(这是我对你的挑战)。

Q2

机翼的面积是单个多边形的总和。各地区的计算方法如下：

ClearAll[polygonArea];
polygonArea[pts_List] :=
 Module[{dtpts = Append[pts, pts[[1]]]},
   If[Length[pts] < 3, 
      0, 
      1/2 Sum[Det[{dtpts[[i]], dtpts[[i + 1]]}], {i, 1, Length[dtpts] - 1}]
   ]
 ]

基于这个Mathworld页面。

该区域已签署BTW，因此您可能需要使用Abs。

校正

上述面积函数仅适用于2D中的一般多边形。对于3D中的三角形区域，可以使用以下方法：

ClearAll[polygonArea];
polygonArea[pts_List?(Length[#] == 3 &)] := 
    Norm[Cross[pts[[2]] - pts[[1]], pts[[3]] - pts[[1]]]]/2