部分衍生物

Question

我试图写一个算法来执行N维混合偏导数。我知道我需要实现什么，但是我似乎不能想出实现N维情况所需的正确循环/递归。

以下是前四个维度的模式：

| 1D  wzyx  | 2D           | 3D           | 4D           |
----------------------------------------------------------
| dx (0001) | dx    (0001) | dx    (0001) | dx    (0001) |
|           | dy    (0010) | dy    (0010) | dy    (0010) |
|           | dyx   (0011) | dyx   (0011) | dyx   (0011) |
|           |              | dz    (0100) | dz    (0100) |
|           |              | dzx   (0101) | dzx   (0101) |
|           |              | dzy   (0110) | dzy   (0110) |
|           |              | dzyx  (0111) | dzyx  (0111) |
|           |              |              | dw    (1000) |
|           |              |              | dwx   (1001) |
|           |              |              | dwy   (1010) |
|           |              |              | dwyx  (1011) |
|           |              |              | dwz   (1100) |
|           |              |              | dwzx  (1101) |
|           |              |              | dwzy  (1110) |
|           |              |              | dxyzw (1111) |

每个维的导数数(因为它遵循二进制模式)是(2^dim)-1；例如，2^3 =8-1= 7。

导数dyx是y维数中相邻点的dx值。这对于所有混合的部分都是正确的。因此，dzyx是z维数中相邻点的dyx。我不确定这一段是否与这个问题有关，只是想把它放在这里是为了完整。

欢迎任何帮助指针的建议。黑体部分是我需要意识到的部分。

：：编辑：：

我将通过提供一个我所需要的例子来尝试更明确一些。这只是一个2D的例子，但它在某种程度上体现了整个过程，我认为。

我需要帮助提出一个算法，它将生成列dx、dy、dyx、et中的值。阿尔。

|  X  |  Y  | f(x, y) |  dx             |  dy       | dyx               |
-------------------------------------------------------------------------
|  0  |  0  |    4    |  (3-4)/2 = -0.5 |  (3-4)/2  | (-0.5 - (-2.0))/2 |
|  1  |  0  |    3    |  (0-4)/2 = -2.0 |  (2-3)/2  | (-2.0 - (-2.0))/2 |
|  2  |  0  |    0    |  (0-3)/2 = -1.5 | (-1-0)/2  | (-1.5 - (-1.5))/2 |
|  0  |  1  |    3    |  (2-3)/2 = -0.5 |  (0-4)/2  | (-0.5 - (-0.5))/2 |
|  1  |  1  |    2    | (-1-3)/2 = -2.0 | (-1-3)/2  | (-1.5 - (-2.0))/2 |
|  2  |  1  |   -1    | (-1-2)/2 = -1.5 | (-4-0)/2  | (-1.5 - (-1.5))/2 |
|  0  |  2  |    0    | (-1-0)/2 = -0.5 |  (0-3)/2  | (-0.5 - (-0.5))/2 |
|  1  |  2  |   -1    | (-4-0)/2 = -2.0 | (-1-2)/2  | (-2.0 - (-2.0))/2 |
|  2  |  2  |   -4    |(-4--1)/2 = -1.5 |(-4--1)/2  | (-1.5 - (-1.5))/2 |

f(x，y)是未知的，只有它的值是已知的；所以解析微分是无用的，它只能是数值。

欢迎任何帮助指针的建议。黑体部分是我需要意识到的部分。

：：编辑-再一次：：

在这里启动了一个Gist：https://gist.github.com/1195522

Answer 1

如果我对你的理解是正确的，我认为以下几点是可行的：

function partial_dev(point, dimension):
    neighbor_selector = top_bit(dimension)
    value_selector = dimension XOR neighbor_selector
    prev_point = point_before(point,neighbor_selector)
    next_point = pointafter(point,neighbor_selector)
    if value_selector == 0:
        return (f[prev_point] - f[next_point])/2
    else:
        return ( partial_dev(prev_point, value_selector) -
                 partial_dev(next_point, value_selector) )/2

其思想是:维度值的顶部位是选择前后点的坐标。如果维度值的其余部分为0，则使用f值作为偏导数计算的点。如果不是，您将得到由其余位表示的偏导数来计算值。

如果需要计算出的所有维度值的所有值，那么根本不需要递归:只需使用维度选择器作为数组索引，其中每个数组元素包含该维度的全部值集。对数组进行初始化，以便使vals[0][coords] = f(coords)。然后计算vals[1]、vals[2]，在计算vals[3]时，使用vals[1]作为值表而不是vals[0] (因为3= 0b11，其中邻居选择器是0b10，value_selector是0b01)。

Answer 2

这个问题通过函数式程序设计得到了很好的解决。实际上，\partial_{xy}f是\partial_y f沿x的偏导数。

我假设您有一个黑匣子函数(或函数对象) f，将其值作为指向内存缓冲区的指针。它的签名被认为是

double f(double* x);

下面是一个将(二阶有限差分)偏导数转化为f的代码：

template <typename F>
struct partial_derivative
{
    partial_derivative(F f, size_t i) : f(f), index(i) {}

    double operator()(double* x)
    {
        // Please read a book on numerical analysis to tweak this one
        static const double eps = 1e-4;

        double old_xi = x[index];
        x[index] = old_xi + eps;
        double f_plus = f(x);

        // circumvent the fact that a + b - b != a in floating point arithmetic
        volatile actual_eps = x[index];
        x[index] = old_xi - eps;
        actual_2eps -= x[index]
        double f_minus = f(x);

        return (f_plus - f_minus) / actual_2eps;
    }

private:
    F f;
    size_t index;
};

template <typename F>
partial_derivative<F> partial(F f, index i)
{
    return partial_derivative<F>(f, i);
}

现在，要计算\partial_{123}f，您需要：

boost::function<double(double*)> f_123 = partial(partial(partial(f, 0), 1), 2);

如果您需要计算它们，那么：

template <typename F>
boost::function<double(double*)> mixed_derivatives(F f, size_t* i, size_t n_indices)
{
    if (n_indices == 0) return f;
    else return partial(mixed_derivatives(f, i + 1, n_indices - 1), i[0]);
}

所以你可以：

size_t indices[] = { 0, 1, 2 };
boost::function<double(double*)> df_123 
    = mixed_derivatives(f, indices, sizeof(indices) / sizeof(size_t));

Answer 3

显然，您可以根据维度(二进制位置的数量)进行循环，然后再递归到下一个二进制数字。

粗糙(非C++)伪码：

Function partialcalc(leadingdigit, dimension)

  If dimension > 1 {
    For i = 1 to dimension {
      //do stuff with these two calls
      partialcalc(0, i - 1)
      partialcalc(1, i - 1)
    }
  }
  Else {
    //partialcalc = 1D case
  }

return partialcalc

End Function

递归的工作方式是，您有一个问题，它可以分解为子问题，相当于较大的问题，只是较小的问题。因为你用了所有的二进制数字来表示维数，所以你只需要在最上面的维数上进行计算，根据维数中的0和1值递归到两个子问题。递归的底部是维度=1级别。由于您强调只需要知道如何构造循环递归，并且已经解决了数学问题，这个结构应该适用于您。