数学优化模块的局限性

Question

我有一个关于Mathematica的全局优化能力的问题。我看到了这篇与NAG工具箱(某种白皮书)相关的文本。

现在我试着从论文中解决测试用例。正如预期的那样，Mathematica在解决这个问题上非常快。

n=2;
fun[x_,y_]:=10 n+(x-2)^2-10Cos[2 Pi(x-2)]+(y-2)^2-10 Cos[2 Pi(y-2)];
NMinimize[{fun[x,y],-5<= x<= 5&&-5<= y<= 5},{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->13}]//AbsoluteTiming

输出量

{0.0470026,{0.,{x->2.,y->2.}}}

我们可以看到优化例程访问的点。

{sol, pts}=Reap[NMinimize[{fun[x,y],-5<= x<= 5&&-5<= y<= 5},{x,y},Method->`{"RandomSearch","SearchPoints"->13},EvaluationMonitor:>Sow[{x,y}]]];Show[ContourPlot[fun[x,y],{x,-5.5,5.5},{y,-5.5,5.5},ColorFunction->"TemperatureMap",Contours->Function[{min,max},Range[min,max,5]],ContourLines->True,PlotRange-> All],ListPlot[pts,Frame-> True,Axes-> False,PlotRange-> All,PlotStyle-> Directive[Red,Opacity[.5],PointSize[Large]]],Graphics[Map[{Black,Opacity[.7],Arrowheads[.026],Arrow[#]}&,Partition[pts//First,2,1]],PlotRange-> {{-5.5,5.5},{-5.5,5.5}}]]`

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现在我想在高维上解决同样的问题。对于五个变量的问题，mathematica甚至在允许大量搜索点的情况下，也开始陷入局部极小的陷阱。

n=5;funList[x_?ListQ]:=Block[{i,symval,rule},
i=Table[ToExpression["x$"<>ToString[j]],{j,1,n}];symval=10  n+Sum[(i[[k]]-2)^2-10Cos[2Pi(i[[k]]-2)],{k,1,n}];rule=MapThread[(#1-> #2)&,{i,x}];symval/.rule]val=Table[RandomReal[{-5,5}],{i,1,n}];vars=Table[ToExpression["x$"<>ToString[j]],{j,1,n}];cons=Table[-5<=ToExpression["x$"<>ToString[j]]<= 5,{j,1,n}]/.List-> And;NMinimize[{funList[vars],cons},vars,Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->4013}]//AbsoluteTiming

产出不是我们想看到的结果。在我的core2duo机器上花了49秒，但这仍然是一个局部的最小值。

{48.5157750,{1.98992,{x$1->2.,x$2->2.,x$3->2.,x$4->2.99496,x$5->1.00504}}}

然后用100000次迭代来尝试SimulatedAnealing。

NMinimize[{funList[vars],cons},vars,Method->"SimulatedAnnealing",MaxIterations->100000]//AbsoluteTiming

产出仍不令人满意。

{111.0733530,{0.994959,{x$1->2.,x$2->2.99496,x$3->2.,x$4->2.,x$5->2.}}}

现在Mathematica有了一种精确的优化算法，叫做最小化。正如预期的那样，它在实用性上肯定失败了，但随着问题规模的增加，它很快就失败了。

n=3;funList[x_?ListQ]:=Block[{i,symval,rule},i=Table[ToExpression["x$"<>ToString[j]],{j,1,n}];symval=10 n+Sum[(i[[k]]-2)^2-10Cos[2 Pi(i[[k]]-2)],{k,1,n}];rule=MapThread[(#1-> #2)&,{i,x}];symval/.rule]val=Table[RandomReal[{-5,5}],{i,1,n}];vars=Table[ToExpression["x$"<>ToString[j]],{j,1,n}];cons=Table[-5<=ToExpression["x$"<>ToString[j]]<= 5,{j,1,n}]/.List-> And;Minimize[{funList[vars],cons},vars]//AbsoluteTiming

输出完全正常。

{5.3593065,{0,{x$1->2,x$2->2,x$3->2}}}

但是，如果使用n=4进一步更改问题大小，您将看到结果。解决方案在我的笔记本上没有出现很长一段时间。

现在的问题很简单，这里有没有人认为有一种方法可以用数值有效地解决这个问题，在数学中高维的情况下？让我们分享我们的想法和经验。然而，应该记住，这是一个基准非线性全局优化问题。大多数数值寻根/最小化算法通常搜索局部最小值。

BR

P

Answer 1

通过增加初始点，我可以得到全局最小值：

n = 5;

funList[x_?ListQ] := Total[10 + (x - 2)^2 - 10 Cos[2 Pi (x - 2)]]

val = Table[RandomReal[{-5, 5}], {i, 1, n}];
vars = Array[Symbol["x$" <> ToString[#]] &, n];
cons = Apply[And, Thread[-5 <= vars <= 5]];

这些都是电话。时间可能不是太有效，但随机算法，一个必须有足够的初始样本，或一个良好的感觉的功能。

In[27]:= NMinimize[{funList[vars], cons}, vars, 
  Method -> {"DifferentialEvolution", 
    "SearchPoints" -> 5^5}] // AbsoluteTiming

Out[27]= {177.7857768, {0., {x$1 -> 2., x$2 -> 2., x$3 -> 2., 
   x$4 -> 2., x$5 -> 2.}}}

In[29]:= NMinimize[{funList[vars], cons}, vars, 
  Method -> {"RandomSearch", "SearchPoints" -> 7^5}] // AbsoluteTiming

Out[29]= {609.3419281, {0., {x$1 -> 2., x$2 -> 2., x$3 -> 2., 
   x$4 -> 2., x$5 -> 2.}}}

Answer 2

你看过文档的此页吗？它回顾了NMinimize支持的方法，并给出了每个示例。其中一个SimulatedAnnealing示例是Rastgrin的函数(或一个非常类似的函数)，docs建议您需要增加扰动大小才能获得好的结果。