创建光滑的直线，将N个点连接在三维中

Question

我在三维空间中有N个点。我要用一条线加入他们。然而，如果我用一条简单的线条去做，它是不光滑的，而且看起来很难看。

我目前的方法是使用Bezier曲线，对4点使用DeCasteljau算法，并对数据集中的每组4点运行该曲线。然而，问题在于，由于我分别在1-4、5-8、9-12等点上运行，所以这条线在4-5、8-9等之间并不平坦。

我还寻找其他方法；具体而言，我找到了关于Catmull样条的这篇文章，它似乎更适合我的目的，因为曲线通过所有控制点，不像Bezier曲线。所以我几乎开始实现它，但是后来，我在那个站点上看到这个公式是"assuming uniform spacing of control points"工作的。我的问题不是这样的。

那么，我的问题是，我应该使用什么方法-- Bezier，Catmull，还是完全不同的方法？如果是Bezier，那么如何解决4-5，8-9之间的非光滑性等问题？如果卡特莫尔-罗姆，为什么公式不能工作，如果点是不均匀的间隔，我需要什么代替？

编辑：我现在非常确定我想要Catmull样条，因为它通过每个控制点，这对我的应用程序来说是一个优势。因此，我想回答的主要问题是，为什么我所提供的环节上的公式不为非均匀间隔的控制点工作？

谢谢。

Answer 1

有几种解决办法：

• 用B样条。这是Bezier曲线的推广( Bezier曲线是，B样条没有内部节点)。
• 用三次样条。三次样条曲线特别容易计算。三次样条在控制点的零、第一和第二导数中是连续的。三次导数，即立方项，在控制点上有一个不连续性，但是很难看到这些不连续。

B样条和三次样条之间的一个关键区别是三次样条将通过所有控制点，而B样条则不会。一种思考方法是:这些内部控制点只是对B样条的建议，但对于三次样条则是强制性的。

Answer 2

通过高斯过程可以找到一条有意义的直线(虽然不是最简单的)。你设定(或推断)的长度，你希望线的变化(即平滑的线)，然后GP线是最可能的线，通过数据给出的长尺度。如果您不介意不通过数据点的线，则可以向模型添加噪声。

这是一个很好的插值方法，因为你也可以得到你的直线的标准偏差。当你在空荡荡中没有太多数据时，这条线变得更加不确定。

你可以在大卫·麦凯的Information Theory, Inference, and Learning Algorithms的第45章中读到它们--你可以从作者的网站这里上下载。

Answer 3

一个解决方案是维基百科中的以下页面：http://en.wikipedia.org/wiki/Bézier_curve，检查N个控制点的通用方法。