大问题-算法分析III

Question

我有以下问题：

用大'O‘表示法解决递归关系，简化答案：

f(0) = 2
f(n) = 6f(n-1)-5, n>0

我知道这是一个一阶的非齐次递推关系，并且已经试过这个问题，但是我似乎无法得到基本情况的正确输出(f(0) = 2)。

这个问题必须在证明中使用几何级数论坛之和。

这是我的答案-注和(x= y，z)是大写西格玛表示法的替代，其中x是初始化为y的和的下界，z是求和的上界：。

1.  *change forumla:*
2.     f(n) = 6^n.g(n)
3.  => 6^n.g(n) = 6.6^(n-1) .g(n-1) -5   
4.  => g(n) = g(n-1)-5/6^n
5.  => g(n) = sum(i=1, n)-5/6^i
6.  => f(n) = 6^n.sum(i=1, n)-5/6^i
7.  => *Evaluate the sum using geometric series forumla*
8.  => sum(i = 1, n)-5/6^i = [sum(i = 1, n)a^i] -------> (a = -5/6)
9.  => *sub a = -5/6 into geometric forumla [a(1-a^n)/(1-a)]*
10. => [(-5/6(1 - (-5/6)^n))/(1-(-5/6))]
11. => g(n) = [(-5/6(1 + (5/6)^n))/(1+5/6)]
12. => f(n) = 6^n . g(n) = 6^n[(-5/6(1 + (5/6)^n))/(1+5/6)]
13. => *sub in n = 0 to see if f(0) = 2*

首先，我确信第11行的方程可以进一步简化，其次，在n=0中减去，得到的结果应该是2。当我到达第13行时我无法得到这个答案..。

编辑:我需要知道的是，当把n=0减到第12行的方程中时，为什么我没有得到f(0) =2。另外，我想知道的是，如何简化第12行f(n)的方程？

有人.？

Answer 1

不用想太多，我要说，f(n + 1)是f(n)的6倍，减去一个常数。因此，f(n)肯定是O(6^n)。虽然你可能会发现一个更紧的界限，这差不多是我在实践中！

为了好玩，我要试试这个：

f(1) = 6f(0) - 5
     = 6^1.f(0)
f(2) = 6f(1) - 5
     = 6(6f(0) - 5) - 5
     = 6^2.f(0) - 6^1.5 - 5
f(3) = 6f(2) - 5
     = 6^3.f(0) - 6^2.5 - 6^1.5 - 5

我冒险猜一下

f(n) = 6^n.f(0) - 5.(6^0 + 6^1 + ... + 6^(n-1))

我很肯定，我可以用几行归纳来证明这一点(把练习留给学生)。

现在,

sum (k in 0..n-1) 6^k  =  (1 - 6^n) / (1 - 6)

因此

f(n) = 6^n.f(0) - 5.(1 - 6^n) / (1 - 6)
     = 6^n.f(0) + (1 - 6^n)
     = 6^n.(2 - 1) + 1
     = 6^n + 1

证实了我先前的直觉。

让我们做几个快速检查计算：

f(0) = 2 = 6^0 + 1
f(1) = 6.2 - 5 = 7 = 6^1 + 1
f(2) = 6.7 - 5 = 37 = 6^2 + 1
f(3) = 6.37 - 5 = 237 = 6^3 + 1

够我做作业了:-)