我们能在数学中扩展PDF，of，FindDistributionParameters等功能吗？

Question

我已经开始做越来越多的工作，新的数学统计和数据分析功能。

我参加了周二的“数理统计与数据分析”在线研讨会(我非常推荐)，但我遇到了一些问题，我希望这个论坛上的人能有一些时间来考虑。

我创造了一个相当广泛的笔记本来简化我的数据分析，称之为"AnalysisNotebook“。它输出一系列广泛的图表和数据，包括:直方图、PDF和CDF图、Q-Q图、研究尾拟合的图、假设检验数据等。

只要我继续使用数学的现成分布，并且可能对简单的MixtureDistributions甚至ParameterMixtureDistributions都能很好地工作，那么这个方法就能很好地工作，因为对于这些数学来说，它很可能通过分解混合物来计算出矩和PDF、CDF、FindDistributionParameters等等。

当我试图定义和使用一个简单的TransformedDistribution (即，

LogNormalNormalDistribution[Gamma_, Sigma_, Delta_] := 
  TransformedDistribution[ u*v + Delta, 
   {Distributed[ u, LogNormalDistribution[ Log[Gamma], Sigma] ],  
    Distributed[ v, NormalDistribution[0, Sqrt[2]]}
   ];

我想按照这样的转换分布来做很多事情。我很感激这样的挑战(我在这个论坛上学到了一些--谢谢大家)：

• 他们可能没有封闭的表格；
• PDF和CDF计算可能需要插值、工作或自定义方法；
• FindDistributionParameters和DistributionFitTest将不知道如何处理这种事情。

基本上，人们想要使用的标准东西实际上是不起作用的，而且人们也不能公平地期望它们这样做。

人们可以编写自定义代码来完成这些事情(同样，这个论坛帮助了我很多)，但是，将所有定制替代方案的复杂性结合到我的AnalysisNotebook中，这似乎很愚蠢。AnalysisNotebook将随着每个新的自定义函数而增长。

如果我能够编写自定义版本的PDF、CDF、FindDistributionParameters、DistributionFitTest和其他我可能需要的标准，而更通用的内置版本只是无缝地调用这些标准，这将极大地帮助我完成这项工作。这样，像我的AnalysisNotebook这样的东西就可以保持简单和整洁，这是我工具箱中的一个标准组件。如果你理解我的意思，我可以把时间花在数学上而不是管道上。

为了阐明我的意思，类似于如何定义一个函数的版本来做不同的事情(使用不同数量的参数或其他类型的情景感知)，Mathematica必须对使用发行版作为参数的函数做一些类似的操作，以知道在特定的内置发行版中使用哪种解决方案。我希望能够在该级别上添加或扩展PDF[]、CDF[]、FindDistributionParameters[]、DistributionFitTest[]和相关函数的功能--为自定义发行版及其所需的支持代码添加功能，内置函数将/可以无缝地调用这些功能。

也许只是一个梦，但如果有人知道我有什么办法可以做到这一点，我将非常感谢你的反馈。

编辑-我遇到的问题：

以下代码永远不会完成执行

r1 = RandomVariate[LogNormalNormalDistribution[0.01, 0.4, 0.0003], 1000];
FindDistributionParameters[r1, LogNormalNormalDistribution[gamma, sigma, delta]]

为了解决这个问题，我编写了以下函数

myLNNFit[data_] := Module[{costFunction, moments}, 
    moments = Moment[EmpiricalDistribution[data], #] & /@ Range[5]; 
    costFunction[gamma_, sigma_, delta_] = 
    Sqrt@Total[((Moment[LogNormalNormalDistribution[gamma, sigma, delta],#]&/@Range[5]) - moments)^2]; 
    NMinimize[{costFunction[gamma, sigma, delta], gamma > 0, sigma > 0}, {gamma, sigma, delta}] ]

这本身就工作得很好，但并不能很好地处理其他事情。

Answer 1

可以使用TagSet指定要与定义关联的符号。这允许您定义发行版的PDF，即使PDF是Protected。下面是一个微不足道的例子。请注意，TriangleWave是一个内置的符号，而TriangleDistribution是我刚刚编造的东西。这是失败的：

PDF[TriangleDistribution[x_]] := TriangleWave[x]

这样做是可行的：

TriangleDistribution /: PDF[TriangleDistribution[x_]] := TriangleWave[x]

现在你可以：

Plot[PDF[TriangleDistribution[x]], {x, 0, 1}]

Answer 2

亲爱的Jarga，数学文档中的以下教程描述了现在您将为您的分发启用随机数生成，查看本文档底部附近的“定义分布式生成器”一节。

这与乔的建议很相似。你需要定义

In[1]:= Random`DistributionVector[
  LogNormalNormalDistribution[gamma_, sigma_, delta_], len_, prec_] ^:=
  RandomVariate[LogNormalDistribution[Log[gamma], sigma], len, 
    WorkingPrecision -> prec]*
   RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[2]], len, 
    WorkingPrecision -> prec] + delta

In[2]:= RandomVariate[
 LogNormalNormalDistribution[0.01, 0.4, 0.0003], 5]

Out[2]= {-0.0013684, 0.00400979, 0.00960139, 0.00524952, 0.012049}

我不知道有任何有记录的方式在估计框架中插入一个新的发行版。假设检验应该是有效的，如果if是为您的分布定义的，并且工作正常。