如何取(N)-simplex边？

Question

在快艇上，需要在一组边缘上建立一个锥。

边被认为是次单纯形，去掉了一个顶点。这是必要的，添加一个顶点到一个边缘将形成一个单纯形，就好像这个顶点刚刚被替换。

例如，当以顶点{p0、p1、p2}定义三角形时，将简单存储为顶点列表：{p1、p2}、{p2、p0}、{p0、p1} -按此索引顺序排列。现在，当在边顶点列表的末尾添加新的顶点p时，新的三角形是：{p1，p2，p}，{p2，p0，p}，{p0，p1，p}，它们的方向与原始三角形倾斜的方向相同。

对于三角形，与p1相对的边与剩余顶点的顺序相反。对于四面体，则是p0和p2。

什么是正确的存储边的方式，或正确的方法来找出什么时候反向顶点的顺序？

好吧。一般来说，存储顶点集不足以表示一个单纯形，如果它的方向很重要的话。同一集合可以表示具有不同体积符号的等效简单数。列表可以保留方向，但从顺序派生它并不简单。因此，集合和列表本身都不是很好的解决方案(既表示单纯形，又表示它们的边)。

Answer 1

最好使用一个列表或顶点元组来表示一个单纯形；问题是如何确定顶点的顺序。(由于我不完全确定任意尺寸的快艇的确切要求，我将在下面一般性地说明.)

如果您轮流用一个新的点v[i]替换每个顶点p，那么最简单的一致操作就是替换它所替换的点。因此，对于三角形{v0,v1,v2}，您将得到新的三角形{p,v1,v2}、{v0,p,v1}和{v0,v1,p}。

如果您想重新排序顶点(例如，使p位于末尾)，那么您应该记住，交换任何两个顶点都会逆转单纯形的方向。所以，为了保持这个方向，你必须做一个偶数的掉期。

在上面的例子中，将p与最终顶点交换将反转方向，除非p已经是最后的顶点。在这种情况下，您可以通过交换前两个顶点来解决这个问题。(请注意，这是一个唯一的解，只适用于3-顶点单纯形--它不适用于2-单纯形，以及N>3-单纯形的多解之一)。

你也可以把它看作是旋转最初的3-单纯形的顶点列表的问题。不幸的是，这只适用于奇点单纯形。对于大小为N的顶点列表，旋转涉及N-1交换，因此对于具有偶数顶点的单纯形，旋转将改变方向。

Answer 2

而单纯形的边缘本身并没有方向。

只有N维中的N-单纯形定义了定向.它是由N个向量π-P0(符号体积)的交叉积决定的。对于高维空间中的较低维数，不能建立这样的交叉积。

对于这个任务(用另一个边构建新的简单元素)，一个边可以用一个(有序的)顶点列表和一个索引来表示，在那里添加新的点，使其与删除的顶点位于同一边。考虑到列表的循环顺序(不确定它是否普遍有效)，可以对其进行旋转，以便索引为0或1。