在非结构张量网格上进行插值的数学力

Question

这个列表是一个简单的函数，它将一个2D点映射为一个数字，如果您将每个{{x,y},z}看作f[x,y]=z

{ 
 {{1,3},9}, {{1,4},16}, 
 {{2,4},8}, {{2,5},10} 
} 

现在，我想要一个对任何f[x,y]进行插值/外推的函数。

Mathematica拒绝这样做：

Interpolation[{{{1,3},9}, {{1,4},16},{{2,4},8}, {{2,5},10}},  
 InterpolationOrder->1] 

插值：：indim:坐标不位于结构化张量积网格上。

我明白为什么(Mathematica想要一个“矩形”域)，但是最简单的方法是怎样迫使Mathematica创建一个插值呢？

这不管用：

f[1,3]=9; f[1,4]=16; f[2,4]=8; f[2,5]=10; 
g=FunctionInterpolation[f[x,y],{x,1,2},{y,3,5}] 

函数：：nreal：

16在{x，y} = {1，-}附近，函数没有计算成实数。5功能补充：：nreal：

17在{x，y} = {1，-}附近，函数没有计算为实数。5功能补充：：nreal：

18在{x，y} = {1，-}附近，函数没有计算成实数。5总则：：停止:函数的进一步输出：：nreal在此计算过程中将被抑制。

即使忽略了上面的警告，计算g也会产生错误。

g[1.5,4] // FortranForm 


     f(1.5,4) + 0.*(-9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -      0.10000000000000009* 
 -       (9.999999999999991* 
 -          (9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -            4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4))) +  
 -         0.5000000000000006* 
 -          (-10.000000000000014* 
 -             (-3.333333333333333*(f(1.3,4) - f(1.6,4)) -  
 -               4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4))) -  
 -            9.999999999999991* 
 -             (9.999999999999991*(f(1.4,4) - f(1.5,4)) +  
 -               4.999999999999996*(-f(1.4,4) + f(1.6,4)))))) 

另一个“明显”的想法(插值插值函数本身)也不起作用。

Answer 1

如果多项式插值是可以接受的，InterpolatingPolynomial会做您想做的事情(其中data是您上面的点数列表)：

In[63]:= InterpolatingPolynomial[data, {x, y}]

Out[63]= -24 + x (12 - 5 y) + 12 y

In[64]:= f[2, 3]

Out[64]= 6

还可以使用Fit对第二个参数中指定的函数的线性组合进行最小二乘拟合：

In[65]:= Fit[Flatten /@ data, {1, x, y}, {x, y}]

Out[65]= 4.75 - 8. x + 4.5 y

当然，一个合适的函数可能并不能精确地插值你的数据点。如果这种拟合是可以接受的，那么FindFit可以适合您指定的任何(线性或非线性)模型函数：

In[72]:= FindFit[Flatten/@data, x y (a Sin[x] + b Cos[y]) + c, {a,b,c}, {x,y}]

Out[72]= {a -> -0.683697, b -> 0.414257, c -> 15.3805}

哈哈！

Answer 2

请用我的包裹！

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/7760/

Answer 3

不幸的是，多项式太摇摆不定了，但是线性函数还不够摆动。我相信正确的模型是几个线段，但它们都有不同的斜率。

这是一个可怕的解决办法，它能做我想做的事。

(* data in format {{x,y},z} *) 
data = {{{1,3},9}, {{1,4},16}, {{2,4},8}, {{2,5},10}} 

(* find the ranges of x and y *) 
datax = DeleteDuplicates[Transpose[Transpose[data][[1]]][[1]]] 
datay = DeleteDuplicates[Transpose[Transpose[data][[1]]][[2]]] 

(* extract the values of y and z for each x *) 
datamap[t_]:=Map[{#[[1,2]], #[[2]]} &, Select[data, #[[1,1]] == t &]] 

(* interpolate for each value of x, create a rectangular array, and then 
   interpolate in y *) 
Map[(f[#]=Interpolation[datamap[#],InterpolationOrder->1])&, datax] 

(* and now apply f to the expanded grid I've created *) 

datatab = Flatten[Table[ 
 {{datax[[i]], datay[[j]]}, f[datax[[i]]][datay[[j]]]}, 
 {i,1,Length[datax]}, {j,1,Length[datay]}], 1] 

(* now mathematica will let me interpolate *) 
dataint = Interpolation[datatab, InterpolationOrder->1] 

(* The resulting function agrees with my original*) 

Flatten[Table[{{x,y},dataint[x,y]},{x,1,2},{y,3,5}],1] 

Out[29]= {{{1, 3}, 9}, {{1, 4}, 16}, {{1, 5}, 23}, {{2, 3}, 6}, {{2, 4}, 8},  
{{2, 5}, 10}} 

(* above contains all my original points [plus a few extra] *) 

(* and does a reasonable job of interpolating *) 

dataint[1.5,3.5] 

9.75 

which is the average of the four corner values: 

{dataint[1,3], dataint[1,4], dataint[2,3], dataint[2,4]} 

{9, 16, 6, 8}