关于TAOCP第一卷“练习笔记”中的一个练习

Question

TAOCP第1卷在“练习笔记”一节中有一个问题，内容如下：

“证明13^3 = 2197。概括你的答案。(这是作者试图避免的可怕问题)。”

问题：

1. 你要怎么证明这一点？(直接乘法是一种方法，另一种方法是使用(a+b)^3的公式)。该解决方案是否需要使用某种方法，使我们能够作出某种概括？
2. 这里的概括是什么？
3. 为什么这是个可怕的问题？
4. 还有什么类似的可怕的问题，你知道吗？

感谢你的回答。

如果上面的问题陈述让它看起来像是家庭作业问题，我很抱歉，但它不是。要求人们不要把这作为家庭作业问题的标签，这样更多的人就可以给出答案。

Answer 1

我猜他是在暗示也许仅仅从Peano公理开始就证明了这一点。然后建设整数，然后正式证明13^3 = 2197是一个自然的，逻辑的结论，从指数的定义。

我们可以概括地证明，给定a和b，存在一些整数c，即a^b。

这是一个可怕的问题，因为大多数人认为它没有兴趣。

类似的问题可以在一门关于分析的课程中找到(还有一些更有趣的)。

Answer 2

被困在同一个练习中，并以这样的方式“解决”了: a^b = mult(i=1 to b) a

经过一番思考，我得出结论，这是一个素因式分解( 13和3都是素数)。查一下费马的小定理。

(我知道，这是一条老生常谈，但也许这会帮助那些也在寻求对这位高管的答案的人。)