这是哪种矩阵行列式计算方法？

Question

这是John用来计算4x4矩阵行列式的方法。从我的研究中，我确定它开始像拉普拉斯展开定理，但接着计算3x3行列式，这似乎与我读过的任何论文都不一致。

    // 2x2 sub-determinants
    float det2_01_01 = mat[0][0] * mat[1][1] - mat[0][1] * mat[1][0];
    float det2_01_02 = mat[0][0] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][0];
    float det2_01_03 = mat[0][0] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][0];
    float det2_01_12 = mat[0][1] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][1];
    float det2_01_13 = mat[0][1] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][1];
    float det2_01_23 = mat[0][2] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][2];

    // 3x3 sub-determinants
    float det3_201_012 = mat[2][0] * det2_01_12 - mat[2][1] * det2_01_02 + mat[2][2] * det2_01_01;
    float det3_201_013 = mat[2][0] * det2_01_13 - mat[2][1] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_01;
    float det3_201_023 = mat[2][0] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_02;
    float det3_201_123 = mat[2][1] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_13 + mat[2][3] * det2_01_12;

    return ( - det3_201_123 * mat[3][0] + det3_201_023 * mat[3][1] - det3_201_013 * mat[3][2] + det3_201_012 * mat[3][3] );

有人能给我解释一下这个方法是如何工作的吗?或者给我指一篇好的文章，其中使用同样的方法？

注意事项

如果重要的话，这个矩阵是主要的行。

Answer 1

这似乎是一种利用未成年人的方法。数学方面可以在维基百科上找到

http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Properties_characterizing_the_determinant

基本上，您可以将矩阵简化为更小、更容易计算的东西，并将这些结果加起来(它涉及一些(-1)因素，应该在我链接到的页面上描述)。

Answer 2

他使用了标准公式，你可以用伪码来计算，

det(M) = sum(M[0, i] * det(M.minor[0, i]) * (-1)^i)

这里，minor[0, i]是从原始矩阵中删除0、-th、行和i-th列获得的矩阵，(-1)*i表示-1的i-th幂。

如果使用不同的行或对列进行循环，则相同的公式(直至整个符号)将有效。如果您想一想det是如何定义的，这是非常不言自明的。请注意，对于2-矩阵，这是如何变成：

det(M) = M[0, 0] * M[1, 1] * (+1) + M[0, 1] * M[1, 0] * (-1)

或者，在第1行而不是0，

-det(M) = M[1, 0] * M[0, 1] * (+1) + M[1, 1] * M[0, 0] * (-1)

-你应该承认2x2矩阵行列式的标准公式。

类似地，对于组成为N = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]的3-矩阵，这将导致公式。

det(N) = a * det([[e, f], [h, i]]) - b * det([[d, f], [g, i]]) + c * det([[d, e], [g, h]])

哪一个成为教科书的公式？

a*e*i + b*f*g +  c*d*h - c*e*g - a*f*h - b*d*i

一旦你扩展了每一个2x2决定因素。

现在，如果你取一个4-矩阵X，你会看到，要计算det(X)，你需要计算4个未成年人的行列式，每个次要的是一个3x3矩阵，但是你也可以进一步扩展它们，这样你就有了一些系数的6个2x2矩阵的行列式。您应该亲自尝试一下，类似于上面对于3x3矩阵的内容。