极大值的特征值计算

Question

假设我有矩阵A的如下形式

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然后，我得到了矩阵C的如下形式

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和最后矩阵L的如下形式

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我的目标是找出矩阵L的元素的公式，使矩阵A.的特征值大于矩阵A的特征值的"K“倍。

我首先介绍了矩阵的定义：

A: matrix(
 [-a,0,b,c], 
 [0,a,-c,b], 
 [d,0,-e,-1], 
 [0,d,1,-e]
);

C: matrix(
 [1,0,0,0], 
 [0,1,0,0]
);

L: matrix(
 [l1,-l2], 
 [l2,l1], 
 [l3,-l4], 
 [l4,l3]
);

然后，我找到了矩阵A的特征多项式的公式(它的根是矩阵A的特征值)

char_pol_system : ratsimp(expand(charpoly(A, x)));
x^4+2*e*x^3+(e^2-2*b*d-a^2+1)*x^2+((-2*b*d-2*a^2)*e-2*c*d)*x-a^2*e^2+(c^2+b^2)*d^2-a^2

并给出了矩阵特征多项式( are )的公式(其根为矩阵are的特征值)。矩阵(A)的特征值必须大于矩阵A的特征值的"K“倍的要求由以下替换y= Kx来反映。

char_pol_observer : subst((K*x), y, ratsimp(expand(charpoly(A-L.C,y))));
K^4*x^4+K^3*(2*l1+2*e)*x^3+K^2*(2*c*l4+2*b*l3+l2^2+l1^2+4*e*l1+e^2-2*b*d-a^2+1)*x^2+K*((2*b*l2+2*c*l1+2*c*e-2*b)*l4+(-2*c*l2+2*b*l1+2*b*e+2*c)*l3+2*e*l2^2+2*c*d*l2+2*e*l1^2+(2*e^2-2*b*d+2)*l1+(-2*b*d-2*a^2)*e-2*c*d)*x+(c^2+b^2)*l4^2+((2*b*e+2*c)*l2+(2*c*e-2*b)*l1)*l4+(c^2+b^2)*l3^2+((2*b-2*c*e)*l2+(2*b*e+2*c)*l1+(-2*c^2-2*b^2)*d)*l3+(e^2+1)*l2^2+(2*c*d*e-2*b*d)*l2+(e^2+1)*l1^2+(-2*b*d*e-2*c*d)*l1-a^2*e^2+(c^2+b^2)*d^2-a^2

因此，我在x中有两个多项式，我的想法是如何找到未知数的公式，l1 - l4是在相同幂次的系数比较的基础上写出的方程。

我的问题是：

在第二次polynomial?

• how中，如何消除x的最高幂时的K^4系数，我能不能在两个polynomials?

中，在x的幂相同的情况下，根据系数的比较来写出方程？

Answer 1

要消除K^4，除以K^4

normalized: expand(char_pol_observer / K^4);

要将系数等号，首先求出两个多项式的差：

difference: char_pol_system - normalized;

然后将x的各个功率的系数等效为0。您可以使用x^n获得ratcoef的系数。

system_of_eqns: makelist(ratcoef(difference, x, n) = 0, n, 3, 0, -1);

您可以从第一个方程(系数l1 )中找到x^3，但其他方程在l2, l3, l4中不是线性的。algsys无法找到解决方案。对每个变量逐个求解，并进行替换，可能会给出其他变量的封闭公式。