程序员从范畴理论对双函子的理解。8

Question

我和Chapter 8 from 一起疯了。

在8.3节中，Bartosz定义了这种类型

newtype BiComp bf fu gu a b = BiComp (bf (fu a) (gu b))

在这里，如果我对Haskell有一点了解，bf、fu和gu是类型构造函数、类(* -> *) -> (* -> *) -> * -> * -> *的bf和gu (就像Maybe或[])，而a和d13是*的一般类型；=左侧的BiComp 是要写入的类型构造函数，而右边的BiComp 是值构造函数，所以它是(bf (fu a) (gu b)) -> BiComp bf fu gu a b类型的。

然后，作者将BiComp设为a和b中的双函子，条件是类型构造器参数bf也是Bifunctor，且类型构造函数fu和gu是Functor的：

instance (Bifunctor bf, Functor fu, Functor gu) => Bifunctor (BiComp bf fu gu) where
    bimap f1 f2 (BiComp x) = BiComp ((bimap (fmap f1) (fmap f2)) x)

到目前为止，这一切对我来说都是合理的。但是，对类型构造函数和值构造函数使用相同的名称可能会使我迷路。

现在我想提出以下几点意见：

定义右边的

• bimap是利用这些约束的:假定bimap是在构造器bf的任何类型的Bifunctor实例中定义的，因此bimap具有(a -> a') -> (b -> b') -> bf a b -> bf a' b'类型；我认为这比下面的内容更不有趣，因为它毕竟只是Bifunctor类型class在8.1中的签名；相反，左边的(a -> a') -> (b -> b') -> BiComp bf fu gu a b -> BiComp bf fu gu a' b'.

• bimap是我们定义的使BiComp在其第4和第5个参数中成为Bifunctor的函数；而参数f1和f2是必须作用于类型实体(即BiComp的第4和第5个参数)的函数；因此，bimap的类型是Bifunctor。

这是正确的吗？

如果是这样的话，那么我就不明白以下几点

bimap :: (fu a -> fu a') -> (gu b -> gu b') -> bf (fu a) (gu b) -> bf (fu a') (gu b')

因为这是右边bimap的类型，这是我在上面的要点中写的类型，只是它是用a = fu a、a' = fu a'等编写的。

我是不是漏掉了什么东西(或者想太多了.)？

Answer 1

你们关系很好。

首先，您有错误的bf类型。它实际上只是* -> * -> *，考虑到它将是一个Bifunctor，这与预期完全相同。当然，这种BiComp是相当疯狂的：

BiComp :: (* -> * -> *) -> (* -> *) -> (* -> *) -> * -> * -> *

从技术上讲，对于你的子弹点中的类型，它们都是正确的，但是使用新的类型变量可能会有帮助(尤其是对于你第一个子弹点中的类型！)让这一切变得更清楚。实际上，右边的bimap具有以下类型

bimap :: forall c c' d d'. (c -> c') -> (d -> d') -> bf c d -> bf c' d'

我们需要使用它将输入值(类型为bf (fu a) (gu b) )转换为bf (fu a') (gu b')类型的输出值。我们只有让c ~ fu a, c' ~ fu a', d ~ gu b, d' ~ gu b'这样做，我们才能做到这一点。让我们看看这对RHS bimap的影响

bimap :: (fu a -> fu a') -> (gu b -> gu b') -> bf (fu a) (gu b) -> bf (fu a') (gu b')

啊哈！这正是你在右手边发现的！而且，我们可以提供我们所需要的论据。首先是fu a -> fu a'类型的函数。我们有一个给定的函数f1 :: a -> a'，我们知道fu是一个函子，所以我们可以用fmap f1得到我们需要的函数。f2和fmap f2也是如此，一切都很顺利。