广义二项式定理分子计算的矢量化方法？

Question

我试图编程广义二项式定理，其中n可以是任何有理数，使用矢量化的方法。公式附如下图。

每个项的分子是n，n×(n-1)，n×(n-1)×(n-2)等等。我已将0.5至n分配给并试图生成5个术语。

到目前为止，我有一个分子的产品数组: 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5使用

def num_products(number_of_terms):
    r = np.arange(1,number_of_terms+1)
    num_prod = np.array(n-r+1)
    return num_prod

但希望为每个术语创建一个分子数组，如以下所示(数组中的每一项以逗号分隔)：

0.5，0.5×-0.5，0.5×-0.5×-1.5，0.5×-0.5×-1.5×-2.5，0.5×-0.5×-1.5×-2.5×-3.5

有人知道如何使用数组(矢量化方法)来完成这个任务吗？我试图使它非常快地计算这些术语，这样我就可以有更多的术语，并提高结果的准确性。

广义二项式定理的公式

Answer 1

每个术语x*(x-1)*(x-2)*...*(x - n + 1)都被称为降因子。维基百科的文章还描述了不断上升的阶乘x*(x+1)*...*(x + n - 1)。一些计算库包括这些实现。例如，mpmath有mpmath.ff和mpmath.rf。

SciPy将上升的阶乘实现为scipy.special.poch。下降的阶乘可以按照上升的阶乘来实现，如

from scipy.special import poch


def ff(x, m):
    return poch(x - m + 1, m)

因为poch是作为一个NumPy "ufunc“实现的，所以它处理广播，因此ff也是如此。这意味着您可以为m传递一个值数组，通过一次调用计算所有相应的下降阶乘。

例如，要获得n= 0.5的广义二项式的前六个分子项(包括初始项1)，调用ff(0.5, np.arange(6))

In [38]: ff(0.5, np.arange(6))
Out[38]: array([ 1.     ,  0.5    , -0.25   ,  0.375  , -0.9375 ,  3.28125])

这和[1, 0.5, 0.5×-0.5, 0.5×-0.5×-1.5, 0.5×-0.5×-1.5×-2.5, 0.5×-0.5×-1.5×-2.5×-3.5]一样

In [40]: [1, 0.5, 0.5*-0.5, 0.5*-0.5*-1.5, 0.5*-0.5*-1.5*-2.5, 0.5*-0.5*-1.5*-2.5*-3.5]
Out[40]: [1, 0.5, -0.25, 0.375, -0.9375, 3.28125]

因此，如果您不介意对SciPy的依赖，您可以使用上面定义的ff来做您想做的事情。