二元对数正态分布密度函数的积分

Question

rho = 0.8;

ff = @(x, y) (exp(-(((log(x)-10).^2 - 2.* rho .* (log(x)-10) .* (log(y)-10)+(log(y)-10).^2)./(2 .* (1-rho.^2))))./(2.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));

syms x y
vpaintegral(vpaintegral(ff, x, [0 inf]), y, [0 inf])

为什么在Matlab中上述二元对数正态分布密度函数的积分不是1?？

注:这个对数正态二元随机变量的对数变换是一个具有均值(10，10)和协方差矩阵(1，rho，rho，1)的二元正态随机变量。

Answer 1

使用integral2的

我们得到0.9994，

% MATLAB R2019a
rho = 0.8;
ff = @(x, y) (exp(-(((log(x)-10).^2-2.*rho.*(log(x)-10).*(log(y)-10)+(log(y)-10).^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));

area = integral2(ff,0,inf,0,inf)     % area = 0.9994

但是，调整公差可以得到预期的结果。

area = integral2(ff,0,inf,0,inf,'Method','iterated','AbsTol',0,'RelTol',1e-10)

ans = 1.0000

format long
area

ans = 0.999999999999998

不太寒酸。

使用符号工具箱中的 瓦氏积分 ：

您还可以使用调整公差 for vpaintegral。

使用相对误差容限 of 1e-4完成了任务。这个参数对计算时间有很大的影响。

syms x y
area = vpaintegral(vpaintegral(ff, x, [0 inf],'RelTol', 1e-4, 'AbsTol', 0), y, [0 inf],'RelTol', 1e-4, 'AbsTol', 0)

面积= 1.0