网格的拓扑是否会影响曲率的结果？

Question

作为我的硕士论文的一部分，我需要检查不同三维扫描物体的曲率，我在网格和一般网格中都是新的，所以我觉得很难理解。

我的网格是不规则的，因为它们被三维扫描。因此，顶点的“分布”也是不规则的。这会影响我的曲率计算吗？我认为是这样的，因为所有的曲率计算方法都使用相邻的顶点，但我不确定。当网格的顶点不是以相同的方式均匀分布时，我能公平地比较不同网格的曲率吗？

我的解决办法是用同样的方法重绘所有的网格，然后进行曲面重建并计算曲率？

或者我看到了不存在的问题，我可以只使用曲率计算。(我想我要用伪逆)

我正在使用meshlab 2016.12

谢谢你的帮助!

Bas

Answer 1

我不知道你是否已经对曲面上的曲率熟悉了，所以在谈论2016年网格上的曲率之前，我将解释一些基本概念，以及如何比较两个网格之间的曲率。

首先，曲面点上的曲率测量曲面在这一点上偏离切平面的程度。在这个点周围的每个方向上，这一偏差可能并不相等。例如，圆柱边的任何一点在一个方向上都有零曲率(平行于轴)，因为表面在该方向上不偏离平面，而是在任何其他方向上有一个正曲率。

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因此，“点上的曲率”取的值通常在点周围的每个方向上都不相等。在一般情况下，有一个方向的曲率是最大的，而另一个方向(垂直)的曲率是最小的。这些被称为主曲率

Meshlab可以使用以下命令计算和呈现主曲率方向：

• Filters -> Normals, curvatures and orientations -> ->显示曲率。

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这有助于理解表示曲面曲率的概念和复杂性，不足以比较两个网格之间的“曲率差异”。但这是一个很好的起点来回答你的主要问题: Meshlab可以计算不规则网格上的曲率，并给出每个网格顶点的曲率值。尽管你可能不知道“如何比较主曲率”，但你可能会预料到你的第一个问题是，两个网格对于顶点都有不同的数目和位置，所以你会知道曲率，但它们在曲面上的位置不同。

下一首。为了避免处理那些复杂的“每个方向上的不同曲率值”，人们通常使用两个不依赖于方向的标量值：

• 平均曲率是最大曲率与最小曲率之间的平均值。此值将允许您将顶点划分为凸(MC > 0)、凹(MC < 0)或“几乎平坦”( MC ~0)
• 高斯曲率是最大曲率和最小曲率之间的乘积。如果你的曲面在任何方向上都是“平坦”的，高斯曲率将为零(作为圆柱例子的侧面)，并允许你将你的顶点划分为椭圆(GC > 0)、双曲(GC < 0)或抛物线(GC ~ 0)

。

您可以使用Filters -> Normals, curvatures and orientations -> Discrete Curvature对话框在meshlab-2016中计算这两个值：

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曲率的标量值作为质量值存储在顶点中，因此您可以使用Render->Show Quality Histogram对其进行分析，或者将这些值保存到.ply文件中，以便在自己的程序中使用。

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因此，我们现在几乎准备好设计一个“两个不规则网格之间的计算曲率差异”算法，因为现在曲率只是作为每个顶点质量存储的标量值。所以你可以：

• 加载了A和B两种网格，我认为它们是相似的，但不同的。在我的示例中，我将使用一个带有9000个三角形的网格，并将相同的网格简化为3000个网格的triangles.
• Compute平均/高斯曲率。

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• 使用过滤器Sampling -> Vertex Attribute Transfer将质量从网格A转移到网格B。如图像

所示

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• Presto！现在，在网格A上测量的曲率存储在网格B

的顶点上。

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• 将网格B保存到具有质量值的.ply文件中。
• 使用过滤器计算网格B的平均/高斯曲率。

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• 将网格保存到另一个具有质量值的.ply文件。

现在，您可以比较存储在两个文件上的质量，绘制差异等。