求三维函数的梯度向量

Question

我有以下功能

def f(x,y):
    return -(x**2+y**2-2)

这个函数是半边的，在这个函数的表面有一个点(x0，y0，z0)，我需要找到显示最大方向的梯度向量。

我有这个密码

Ex,Ey= np.gradient(f(X,Y))
EX, EY = np.meshgrid(Ex,Ey)
Ex_2=max(list(map(max, Ex)))
Ey_2=max(list(map(max, Ey)))

我想知道是否有另一种方法可以找到函数(梯度向量)的最大值，它的初始点在(x0，y0)？

*函数f(x，y)由用户给出，这意味着我不能定义df，因为我不知道将要给出的函数。

Answer 1

在您介绍的情况下，我只能看到寻找np.gradient替代方案的两个原因：

1. 由于精度问题，您不想使用数值微分(这就是np.gradient所做的)。
2. 您负担不起使用numpy (这似乎不太可能，但可能您有一个非常受限的嵌入式平台？)。

在第一种情况下，我认为您可以查看符号或自动区分。前者通常要慢得多，而且也不那么直截了当。自动区分通常比数值微分精确得多，并且在许多库中都是现成的，您可以根据用户提供的代码施加多少约束来选择。

#Autograd (pseudocode)
import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def f(x,y):
    #do something with x,y
    #...
    return some_value

df=grad(f)
u=df(1,1) #gradient of f at point (1,1)

或

#pytorch, might be overkill in your case
import torch
def f(x,y):
    """
    x,y should be torch.Tensor
    """ 
    #do stuff
u=f(x,y)
u.backward()
x.grad #this is the gradient w.r.t x

如果主要关注的是第二种情况，并且您不想使用额外的库，那么一种可能是自己计算带有有限差异的导数，这不会给用户添加任何约束，但可能会影响精度，这取决于它们的功能。另一种选择是对用户提供的函数强制执行约束:或者强制它也返回自己的Jacobian，以便您可以在您的侧链规则中使用它，或者定义您自己的类型，比如对偶数，它允许计算导数，但在定义函数/变量时强制用户从该类型派生。