积分Legendre多项式的递推

Question

附像

我正在用python编写这些递归，不明白为什么官方解决方案与我的不同。N= 1，2的平凡情形是明确的。这是我的方法：

return ((2*(k-1)-1)*x*leg(k-1) - ((k-1)-2)*leg(k-2)) / k

这是正式的解决办法：

return ((2*k-1)*x*leg(k-1) - (k-1)*leg(k-2)) / k

为什么他们减少k来调用这个函数，而在第一部分，系数(2*k-1)却没有？为什么第二部分中的系数改为(k-1)？

Answer 1

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因此，通常，afaiu，您的问题来源于公式(在您所附的图像中确实显示L_{k+1}(x))，而它们实现的是L_{k}(x)，而没有显示如何从L_{k+1}(x)获得L_{k}(x)的中间派生。

我进一步认为这里有一些混乱，所以我会很明显地偏离符号。让m = k+1了解下面的内容。

然后，我们通过直接的前向替换：

m * L(x, m) = (2*(m+1)-1) * x * L(x, m-1) - ((m-1)-2) * L(x, m-2)  # for m >= 3

产额

L(x, m) = ( (2*m + 2 - 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

在python语法中，这是：

def L(x, m):
    if m == 1:
        return x
    elif m == 2:
        return 0.5 * (x**2 - 1)
    else:  # do this for all m >= 3
        return ( (2*m + 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

为什么他们减少k来调用这个函数，而在第一部分，系数(2*k-1)却没有？

他们做了，按照我的推导。

为什么第二部分中的系数改为(k-1)？

老实说，我不知道；在我看来，他们似乎在替换过程中犯了一个错误，也就是说，他们一定是把m+1而不是m-1放在了。

>>> (2*(k-1)-1)

首先计算k-1将其乘以2，然后减去1，后者与2*k-1无关。例如：

k = 5与您的解决方案(2*(5-1)-1) = 7和官方解决方案(2*5-1) = 9一起屈服。