给定a，b，c和alpha查找x

Question

我在做图像处理以确定图片中两个点之间的距离。它涉及相当多的几何学。其中一个问题，我试图解决使用基本几何，但未能找到一个解决办法是以下。我已经把这个问题转化为数学术语，以便更多的人能够回答它。

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给出了边a，b，c和角α。长度x是用正弦和余弦定律求出的，我发现:用余弦定律，用正弦定律。

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其中β是与侧b相对的角度。

Answer 1

这不是一个微不足道的问题，也许应该问Math.SE。

但我的看法是：

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考虑三角形abx

b^2 = x^2 + a^2 - 2*a*x*cos(β)        #1

和三角形a1cx

c^2 = x^2 + a1^2 -2*a1*x*cos(β)       #2
sin(α)/α1 = sin(β)/c                  #3

x，a1和β三个待解的非线性方程组.

从#2中减去#1以消除x^2 (有一些简化)

b^2 - c^2  = -2*x *(a-a1)*cos(β)+a^2 -a1^2        #4

用#3消除β中的a1

b^2 - c^2 = -2*x*(a-a1)*sqrt(1 - c^2/a1^2*sin(α)^2)+a^2-a1^2  #5

现在从(a/a1)*#2中减去#1以消除a1^2

b^2 - a*c^2/a1 = -(a-a1)*(x^2-a*a1)/a1            #6

方程#5和#6是x和a1需要求解的两个非线性方程组.

在#5中，我们有x在a1方面

x = a1*(a^2-a1^2-b^2+c^2)/(2*(a-a1)*sqrt(a1^2-c^2*sin(α)^2))    #7

不幸的是，在#6中使用上述方法将导致对a1的六阶多项式的求解。

它只能在这一点上进行数值求解。如果发现了a1 #7 ，那么#7也给出了 x**.**

0 = 4*a^2*c^2*g^2
+ a1*(4*a*g^2*(a^2-b^2-c^2))
+ a1^2*(a^4-2a^2(b^2+c^2+4g^2)+b^4+2b^2(2g^2-c^2)+c^4)
+ a1^3*(-4a(a^2-b^2-c^2-g^2))
+ a1^4*(2(3a^2-b^2-c^2))
+ a1^5*(-4*a)
+ a1^6

其中g = c*sin(α)