为什么这个随机产生的球面点云不均匀分布？

Question

我试着模拟点源发出的辐射。为了做到这一点，给定源的坐标和所需的发射射线长度，我在球面坐标中随机生成一个方向矢量，将其转换为笛卡儿，并返回正确的端点。但是，当我运行这个程序，并在Blender中可视化产生的点云(由所有随机生成的端点组成)时，我看到它在球体的“极点”上更密集。我希望这些点沿球体均匀分布。我怎样才能做到这一点？

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随机生成函数：

def getRadiationEmissionLineSeg(p, t):
    if(p.size == 4):
        #polar angle spans [0, pi] from +Z axis to -Z axis
        #azimuthal angle spans [0, 2*pi] orthogonal to the zenith (in the XY plane)
        theta = math.pi * random.random()
        phi = 2 * math.pi * random.random()

        #use r = 1 to get a unit direction vector
        v = sphericalToCartesian(1, theta, phi)

        #parametric vector form: vec = p + tv
        #p = point that lies on vector (origin point in case of a ray)
        #t = parameter (-inf, inf) for lines, [0, inf) for rays
        #v = direction vector (must be normalized)
        return p + t * v

球面坐标->笛卡尔变换函数：

def sphericalToCartesian(r, theta, phi):

    x = r * math.sin(theta) * math.cos(phi)
    y = r * math.sin(theta) * math.sin(phi)
    z = r * math.cos(theta)

    return npy.array([x, y, z, 0])

Answer 1

当你用球面坐标变换点，角θ接近π时，0，2 pi { theta }的图像的圆变得越来越小。由于θ是均匀分布的，在极附近会有更多的点。它可以在网格图像上看到。

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如果你想在球面上产生均匀分布的点，你可以利用这样一个事实:如果你切割一个有两个平行平面的球，那么两面之间的球面条的面积只取决于两平面之间的距离。因此，可以使用两个均匀分布的随机变量在球面上得到均匀分布：

• z坐标-r与r，
• 对应于经度的[0，2pi]之间的角θ。

然后你可以很容易地计算出x和y的坐标。

示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

r = 1
n = 1000

z = np.random.random(n)*2*r - r
phi = np.random.random(n)*2*np.pi

x = np.sqrt(1 - z**2)*np.cos(phi)
y = np.sqrt(1 - z**2)*np.sin(phi)

fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.scatter(x, y, z)
plt.show()

n=100,250,1000结果

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