加速计算Pi的Leibniz级数

Question

在我学习数学的时候，我读到了关于名为Leibniz series for Pi的系列文章：

• 公式图像：https://d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.net/media%2F0ee%2F0eeaa57b-570b-4444-93bc-7bc2f4d83931%2FphpHCRPXf.png

所以我为它做了一个程序，用这个系列的数字来表示：

def leibniz(n):
    pi = 0
    for i in range(1,n+1):
        if(i % 2 == 0):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = 4 * pi
    return pi

这段代码可以工作，但问题是它非常缓慢地收敛到Pi。

• 因此，我读到了不同系列的加速，基本上，在我的例子中最好的是欧拉加速度。
• 缓慢的收敛是因为我的版本是一个交替的系列，即包含(-1)^n，但我更困惑的是如何编写它。

编辑：

我了解了Shanks变换并编写了程序

def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
        return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b) 
    a = accelrate(n + 1,depth - 1)
    b = accelrate(n,depth - 1)
    c = accelrate(n-1,depth - 1)
    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以htis所做的就是递归地应用Shanks变换并继续加速这个级数。但现在的问题是，由于递归，它是非常缓慢和准确性不提高，如果你增加深度。

这就是Shanks变换的低效吗？

Answer 1

因此，经过周密的思考，我在我的小腿变换中想到了Cache减缩。

它并不是很重要，但仍然是一个很好的改进。

下面是：

import functools as ft

@ft.lru_cache(maxsize=32)
def lebniez(n):
    pi = 0
    n = n + 1
    for i in range(1,n):
        if(i % 2 == 1):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = abs(4 * pi)
    return pi

@ft.lru_cache(maxsize=128)
def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
    else:
        a = accelrate(n + 1,depth - 1)
        b = accelrate(n,depth - 1)
        c = accelrate(n-1,depth - 1)

    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以这个基本的帮助使它更稳定。

其次，关于效率不高的问题，原因是Shanks变换就是这样的序列，其中误差比(n+ 1) /误差(N)是常数。但是，在再次应用Shanks变换之后，这会导致效率低下