如果我们用函子实例来记录liftM，它会不会太严格了？

Question

fmap for Monads通常默认为liftM

liftM   :: (Monad m) => (a1 -> r) -> m a1 -> m r
liftM f m1 = do { x1 <- m1; return (f x1) }

然而，正如人们所看到的，它使用绑定(作为m1 >>= \ x1 -> return (f x1)中的右手去糖块)。我想知道这样的fmap是否可以用于为具有严格的>>=运算符的monads写下mfix。更准确地说，我想知道下面使用Control.Arrow.loop (再一次)实现的情况。

我使用的monad是Identity，但是每当使用seq绑定时，它就会强制使用它内部的任何内容。

newtype Id' a = Id' { runId' :: a } deriving ...

instance Functor Id' where
    fmap = liftM -- instead of `f <$> (Id' x) = Id' (f x)`. 

instance Applicative Id' where
    pure  = return
    (<*>) = ap

instance Monad Id' where
    return         = Id'
    (Id' x)  >>= k = x `seq` k x

instance MonadFix Id' where
    mfix f = let a = f (runId' a) in a

myMfix :: MonadFix m => (a -> m a) -> m a
myMfix k = let f ~(_, d) = ((,) d) <$> k d
           in (flip runKleisli () . loop . Kleisli) f

我的直觉是是的，可以用。我估计我们只在两种情况下遇到问题：

1. k我们应用mfix/myMfix是严格的。
2. 我们将mfix/myMfix应用于return。

这两种情况都相当简单，我们一开始不期望有任何收敛的结果。我认为其他病例可以强迫WHNF而不强制反馈。

我的直觉正确吗？如果没有，能否给出一个失败的例子？

Answer 1

您对Id'的定义不是有效的单体，因为它不符合左单元定律：

  return undefined >= const (return 3)
= Id' undefined >>= const (return 3)
= undefined `seq` const (return 3) undefined
= undefined

这并不等于

  const (return 3) undefined
= return 3
= Id' 3

因此，关于MonadFix for Id'的定义是否有效的讨论是毫无意义的，更不用说通过Kleisli构造的定义是否可靠。

话虽如此，如果您想要查看定义是否是mfix的忠实实现，则需要记录并证明严格、纯洁和左缩的三条定律。如果您从一个实际的monad开始(而不是您的Id'没有通过测试)，那么您需要建立这三个定律，才能被认为是一个有效的一元反馈操作符。如果不做这项工作，就不可能知道定义是如何泛化的。

我的直觉是，你通过Kleisli构造定义的直觉很可能支持行为良好的箭头，也就是那些其loop算子确实满足正确的紧缩定律的箭头。然而，众所周知，具有左严格绑定运算符的monad的Kleisli类别上的箭头不具有满足右紧性的loop算子。(请参阅推论3.1.7和第6.4.1节中的讨论。)

因此，任何具有左严格绑定运算符(如[]、Maybe、IO、严格状态等)的monad。将无法通过测试。但是从环境，懒惰状态，以及那些由单子植物建造出来的单子植物中产生的箭头。作家单子)也许能解决问题。