累积的同质转换:轮转起作用，但翻译不起作用？

Question

我有3点云(云0，云1和云2)，在3个不同的位置获得使用地面激光扫描仪。这些云在它们之间重叠，这意味着有一个严格的三维物体转换，T，它正确地将一个云注册在另一个云上。我有两个这样的转换: T10，它将云1移动到云0；T20，它将云2移动到云0(云0被选择为全局引用)。问题是，如何找到云2与云1重叠的转换？我已经找到了旋转，但是我找不到平移向量。有可能吗？

我通过将变换T20乘以T10的逆得到的旋转，因为T10^(-1) = T01，因此，T20*T01 = T21。当我将这个转换应用于云2时，它正确地将云2旋转到云1(两者都在同一个方向上)，但它们之间有一个变化，我不明白为什么。

这些变换就是齐次矩阵T (4x4)，它只是旋转矩阵R (3x3)和平移向量t (3x1)的结合点，对吗？旋转是可以组合的。我发现从云2到云1的旋转显示了这一点。但是为什么翻译中会出现这种变化呢？

事实上，我有几个云，要注册远离原点的云，我需要通过乘法积累几个转换(例如: T50 = T54 * T43 * T32 * T21 * T10)，越多，翻译的差异就越大。

我要说的是，虽然乘法积累了误差，但它们非常小，因为登记是由比较方案手工完成和改进的。事实上，将任何一种转换应用成对都会导致几乎完美的重叠，但是积累它们会导致翻译上的巨大偏差。旋转是如此之好，以致于循环闭包实际上导致了恒等矩阵。

Answer 1

你是否忽略了旋转对平移的影响？

如果有一个具有旋转R和平移v的变换T，以及另一个具有旋转q和平移v的S，那么将T然后S应用到点x上的效果是得到y的

y = Q*(R*x+v) + u = Q*R + Q*v + u 

即组合变换有旋转。

P = Q*R

和翻译

w = Q*v + u

由此可以看出，与T相反的变换有旋转。

inv(R)

和翻译

- inv(R)*v

我们可以用4x4矩阵来表示这类变换，这是很常见的，其方式是将变换的合成和应用简化为矩阵乘法。不过，请注意，这是以效率为代价的。

S和T由4x4矩阵M和N表示。

M = ( Q u)
  = ( 0 1)
N = ( R v)
    ( 0 1)

然后，组合变换T的代表L，S是

   L = M*N

要将S应用于点x，我们计算

M*(x)
  (1)

结果的前三个分量是变换点的分量。