为什么我要在数值积分中使用标准化的单位？

Question

我在模拟太阳系(太阳、地球和月球)。当我第一次开始做这个项目的时候，我用的是基本单位:米代表距离，秒代表时间，米每秒代表速度。因为我处理的是太阳系，这个数字很大，例如地球和太阳之间的距离是150·10⁹ m。

当我将系统与scipy.solve_ivp进行数值集成时，结果是完全错误的。这里是地球和月球轨道的一个例子。

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但是后来我从一个朋友那里得到了一个建议，我应该使用标准化的单位：天文单位 (AU)表示距离，使用年份表示时间。模拟开始完美无缺地工作！

我的问题是:为什么对于像我这样的问题，这是一个普遍有效的建议？(请记住，这不是我已经解决的具体问题，而是解决办法的原因。)

Answer 1

如果下列情况下，大多数集成模块(如果不是所有集成模块)都能最好地发挥作用：

• 你的动力变量有相同的数量级；
• 该数量级为1；
• 你动力学中最小的时间尺度也有一个数量级1。

这在天文模拟中通常是失败的，因为在典型单位中，数量级不同，数值和时间尺度往往很大。

造成积分器以上行为的原因是它们使用了步长适配，即调整积分步骤以将估计误差保持在定义的水平上。步长适配又由许多参数决定，如绝对公差、相对公差、最小时间步长等。通常可以调整这些参数，但如果不调整，则需要有一些默认值，而这些默认值是根据上述设置选择的。

离题

您可能会问自己:这些参数不能更动态地选择吗？作为集成模块的开发人员和维护者，我大致预期引入这样的自动化会产生以下后果：

• 大约千分之二十的用户不会遇到像你这样的问题。
• 大约5万名用户(包括上述用户)错过了学习集成者如何工作和阅读文档的基本知识的机会。
• 大约千分之一的用户会遇到比上述更难解决的自动化问题。
• 我需要引入控制自动化的新参数，这些参数对于普通用户来说更难掌握。
• 我花了很多时间来设计和实现自动化。