积分积分的孤立积分法

Question

我想知道为什么同情不能解决以下问题：

from sympy import *
ss = symbols('s', real = True)
a = symbols('a', real = True)
f = Function('f')
g = Function('g')
eq = Integral(a*g(ss) + f(ss),(ss,0,oo))
solve(eq, a)

返回是一个空的解决方案列表。我想告诉你足够多的东西，这样我就可以得到一个解决方案：

-1*Integral(f(ss),(ss,0,oo))/Integral(g(ss),(ss,0,oo))

也就是说，它的安全假设积分收敛，是实值的，非零的.还有其他的假设/函数可以用来获得所需的输出吗？谢谢

Answer 1

你对预期结果的假设仍然不准确。要使方程有一个解，必须保证Integral(g(ss),(ss,0,oo))是实的和非零的，这不是你的方程所暗示的，所以不返回结果。

此外，如果您想要求解涉及Integral的方程，则需要使用doit。看看下面

from sympy import *

x = symbols('x', real = True)
a = symbols('a', real = True)
f = Function('f')

eq = a+Integral(f(x), (x, 0, oo))
print('Eq.1', solve(eq, a))

eq2 = Integral(a+f(x), (x, 0, oo))
print('Eq.2', solve(eq2.doit(), a))

eq3 = Integral(a+f(x), (x, 0, 1))
print('Eq.3', solve(eq3.doit(), a))

eq4 = Integral(a+2, (x, 0, 3))
print('Eq.4', solve(eq4, a))
print('Eq.4', solve(eq4.doit(), a))

输出：

Eq.1 [-Integral(f(x), (x, 0, oo))]
Eq.2 []
Eq.3 []
Eq.4 []
Eq.4 [-2]

请注意，eq.1 是可解的，因为它不在极限之内，所以您可以在方程的一侧移动a (具有无限界的积分是积分极限的缩写，其各自的界接近无穷大)。但是，eq.2和eq.3是不可解的，因为只有当它们收敛到一个实数时，和的极限才等于限制的和(在您的例子中，它们不能保证它们是可解的)。

最后，eq.4几乎是可解的，但您必须使用doit。在eq.1中，没有它你可以逃脱。

也就是说，您可以使用expand“克服”形式主义。看看下面。

from sympy import *

x = symbols('x', real = True)
a = symbols('a', real = True)
f = Function('f')
g = Function('g')

eq5 = a+Integral(a+f(x), (x, 0, 1))
print('Eq.5', solve(eq5.expand().doit(), a))

eq6 = Integral(a+f(x), (x, 0, 1))
print('Eq.6', solve(eq6.expand().doit(), a))

eq7 = Integral(a*g(x)+f(x), (x, 0, oo))
print('Eq.7', solve(eq7.expand().doit(), a))

输出：

Eq.5 [-Integral(f(x), (x, 0, 1))/2]
Eq.6 [-Integral(f(x), (x, 0, 1))]
Eq.7 [-Integral(f(x), (x, 0, oo))/Integral(g(x), (x, 0, oo))]

这是因为它允许某些操作，通过快速和松散地处理细节。但是，当结果明显错误时，它仍然不起作用(尝试使用oo作为eq.6或eq.7中的上限)。

Answer 2

这是你的方程式：

In [9]: eq
Out[9]: 
∞                   
⌠                   
⎮ (a⋅g(s) + f(s)) ds
⌡                   
0 

您希望为a求解，使这个表达式等于零。我们可以重新排列这个表达式来提取a，以便solve了解如何隔离a。

In [10]: eq.expand()
Out[10]: 
∞                   
⌠                   
⎮ (a⋅g(s) + f(s)) ds
⌡                   
0                   

In [11]: eq.expand(force=True)
Out[11]: 
∞             ∞        
⌠             ⌠        
⎮ a⋅g(s) ds + ⎮ f(s) ds
⌡             ⌡        
0             0        

In [12]: factor_terms(eq.expand(force=True))
Out[12]: 
  ∞           ∞        
  ⌠           ⌠        
a⋅⎮ g(s) ds + ⎮ f(s) ds
  ⌡           ⌡        
  0           0        

In [13]: solve(factor_terms(eq.expand(force=True)), a)
Out[13]: 
⎡ ∞         ⎤
⎢ ⌠         ⎥
⎢-⎮ f(s) ds ⎥
⎢ ⌡         ⎥
⎢ 0         ⎥
⎢───────────⎥
⎢ ∞         ⎥
⎢ ⌠         ⎥
⎢ ⎮ g(s) ds ⎥
⎢ ⌡         ⎥
⎣ 0         ⎦

我们必须使用force=True，因为expand不会假定具有oo上限的积分收敛并将积分分解为两个积分，可以将一个收敛积分转化为一个非收敛积分之和。